C/C++ ACM 二分查找算法

简介

二分，是指在答案在的区间范围中二分
通过二分法每分出一个中间值，就判断是否是答案，然后逐渐缩小区间范围得到答案
通过二分的方法，可以跳过很多没有必要的比较和选择
二分算法的时间复杂度是 O (logN)

下面列出一些常见的问题类型

1. 数组的二分查找

给定一个有序的数组，查找k是否在数组中

注意：数组二分要求 数组中元素必须是有序的
对于有序的数组可以直接进行二分查找
对于无序的数组可以通过sort()排序使其成为有序数组

数组二分模板

在有 n 个元素的数组中查找元素 k 是否存在并得到数组下标

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int num[1000000];
int main()
{
    int n, q, l, r, mid, k;
    while (scanf("%d", &n) != -1)
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d", &num[i]);
        scanf("%d", &k);
        l = 0;
        r = n - 1;
        while (l <= r)
        {
            mid = (l + r) / 2;
            if (num[mid] == k)
                break;
            else if (num[mid] < k)
                l = mid + 1;
            else
                r = mid - 1;
        }
        if (num[mid] == k)
            printf("%d 存在，数组下标为 %d\n", k, mid);
        else
            printf("%d 不存在\n", k);
    }
    return 0;
}

在这里插入图片描述

C++ STL 中的数组二分

头文件 `#include

upper_bound() 返回第一个大于被查找元素的元素地址
lower_bound() 返回第一个大于等于被查找元素的元素地址

调用格式

upper_bound (数组首地址,数组尾地址,被查找元素)
lower_bound (数组首地址,数组尾地址,被查找元素)

STL 数组二分模板

在有 n 个元素的数组中查找第一个大于(等于)元素 m 的数组下标
注意：upper_bound() 与 lower_bound() 返回的是元素地址，需要减去数组首地址获得数组下标

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main()
{
	int n,m,num[10086];
	while(cin>>n)
	{
		for(int i=0;i<n;i++)cin>>num[i];
		cin>>m;
		cout<<"第一个大于该元素的数组下标为"<<upper_bound(num,num+n,m)-num<<endl;
		cout<<"第一个大于等于该元素的数组下标为"<<lower_bound(num,num+n,m)-num<<endl;
	}
	return 0;
}

在这里插入图片描述

2. 区间的二分查找

区间的二分查找的前提条件：区间内函数必须是单调的
特点：找不到具体的值但是可以确定大体的一个范围，达到一定精度后可以看作答案。
注意：有些题目容易出现精度玄学问题

问题类型：

求给定函数的零点，把区间折半来找零点
已知 f (x) 求 f (x) 对应的 x 值

区间二分模板

给定 y = f (x) 中 y 对应的 x 值
保证 -20 < x < 20
输入 y 输出 x

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double f(double x) //定义函数 （这里随便抓了一个）
{
	return 0.0001*pow(x,5)+0.003*pow(x,3)+0.5*x-3;
}

int main()
{
	double y,l,r,mid;
	while(scanf("%lf",&y)!=-1)
	{
		l=-20;
		r=20;
		while(l<=r)
		{
			mid=(l+r)/2;
			//if (r-l<=1e-5) break; //也可利用区间范围大小判断跳出条件
			if(fabs(f(mid)-y)<1e-5)break; //由于double类型不能直接用==判断 因此答案近似一定程度可以认为找到答案
			if(f(mid)<y)l=mid;
			else r=mid;
		}
		printf("%.4f\n",mid);
	}
	return 0;
}