二分查找（C++）

二分查找法作为一种常见的查找方法，将原本是线性时间提升到了对数时间范围，大大缩短了搜索时间，具有很大的应用场景，而在LeetCode中，要运用二分搜索法来解的题目也有很多，但是实际上二分查找法的查找目标有很多种，而且在细节写法也有一些变化。根据查找的目标不同，二分查找法主要分为以下三类：

第一类：需查找和目标值完全相等的数

这是最简单的一类，也是我们最开始学二分查找法需要解决的问题，比如我们有数组[2, 4, 5, 6, 9]，target = 6，那么我们可以写出二分查找法的代码如下：

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) return mid;
        else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return -1;
}

会返回3，也就是target的在数组中的位置。注意二分查找法的写法并不唯一，主要可以变动地方有四处：

第一处是right的初始化，可以写成 nums.size() 或者 nums.size() - 1

第二处是left和right的关系，可以写成 left < right 或者 left <= right

第三处是更新right的赋值，可以写成 right = mid 或者 right = mid - 1

第四处是最后返回值，可以返回left，right，或right - 1

但是这些不同的写法并不能随机的组合，像博主的那种写法，若right初始化为了nums.size()，那么就必须用left < right，而最后的right的赋值必须用 right = mid。但是如果我们right初始化为 nums.size() - 1，那么就必须用 left <= right，并且right的赋值要写成 right = mid - 1，不然就会出错。所以博主的建议是选择一套自己喜欢的写法，并且记住，实在不行就带简单的例子来一步一步执行，确定正确的写法也行。

第一类应用实例：

Intersection of Two Arrays

第二类：查找第一个不小于目标值的数，可变形为查找最后一个小于目标值的数

这是比较常见的一类，因为我们要查找的目标值不一定会在数组中出现，也有可能是跟目标值相等的数在数组中并不唯一，而是有多个，那么这种情况下nums[mid] == target这条判断语句就没有必要存在。比如在数组[2, 4, 5, 6, 9]中查找数字3，就会返回数字4的位置；在数组[0, 1, 1, 1, 1]中查找数字1，就会返回第一个数字1的位置。我们可以使用如下代码：

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return right;
}

最后我们需要返回的位置就是right指针指向的地方。在C++的STL中有专门的查找第一个不小于目标值的数的函数lower_bound，在博主的解法中也会时不时的用到这个函数。但是如果面试的时候人家不让使用内置函数，那么我们只能老老实实写上面这段二分查找的函数。

这一类可以轻松的变形为查找最后一个小于目标值的数，怎么变呢。我们已经找到了第一个不小于目标值的数，那么再往前退一位，返回right - 1，就是最后一个小于目标值的数。

第二类应用实例：

Heaters， Arranging Coins， Valid Perfect Square，Max Sum of Rectangle No Larger Than K，Russian Doll Envelopes

第二类变形应用：Valid Triangle Number

第三类：查找第一个大于目标值的数，可变形为查找最后一个不大于目标值的数

这一类也比较常见，尤其是查找第一个大于目标值的数，在C++的STL也有专门的函数upper_bound，这里跟上面的那种情况的写法上很相似，只需要添加一个等号，将之前的 nums[mid] < target 变成 nums[mid] <= target，就这一个小小的变化，其实直接就改变了搜索的方向，使得在数组中有很多跟目标值相同的数字存在的情况下，返回最后一个相同的数字的下一个位置。比如在数组[2, 4, 5, 6, 9]中查找数字3，还是返回数字4的位置，这跟上面那查找方式返回的结果相同，因为数字4在此数组中既是第一个不小于目标值3的数，也是第一个大于目标值3的数，所以make sense；在数组[0, 1, 1, 1, 1]中查找数字1，就会返回坐标5，通过对比返回的坐标和数组的长度，我们就知道是否存在这样一个大于目标值的数。参见下面的代码：

int find(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] <= target) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return right;
}

这一类可以轻松的变形为查找最后一个不大于目标值的数，怎么变呢。我们已经找到了第一个大于目标值的数，那么再往前退一位，返回right - 1，就是最后一个不大于目标值的数。比如在数组[0, 1, 1, 1, 1]中查找数字1，就会返回最后一个数字1的位置4，这在有些情况下是需要这么做的。

第三类应用实例：

Kth Smallest Element in a Sorted Matrix

第三类变形应用示例：

Sqrt(x)

参考:http://www.cnblogs.com/grandyang/p/6854825.html

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