一、模型建立
根据单摆模型,建立以下模型,如下图:
忽略空气阻力的情况下,当物体离开平衡位置后,物体会受到竖直向下的重力和沿着悬挂线向上方向的拉力的合力作用,使得物体在平衡位置做往返运动。该合力又称为恢复力,如下:
其中,悬线与竖直方向夹角为θ,与物体运动方向夹角为 π- θ,F方向与物体运动方向相切,指向平衡位置。
又由极限,可知,当θ较小时,有
实际中,物体除了受到回复力F的作用外,还受到空气阻力F阻的作用,从而最终会静止在平衡位置。而运动中空气阻力的大小与物体运动速度大小成正比,该比例由阻尼系数k表示,而阻力方向与运动速度方向相反。此时物体在运动方向上所受合力如下:
因此,对于单摆模型,其保持平衡需耀具备以下条件:
- 受到与偏移方向相反的回复力的作用
- 受到与物体运动方向相反的阻尼力的作用
对于两轮平衡车,可以简化为倒立摆模型,如下:
而对于倒立摆模型,其受力如下:
如单摆模型,可知物体受到回复力为:
但由于此时回复力方向与物体平衡位置方向相反,因此物体反而会加速离开平衡位置。
为了让物体回到平衡位置,即保持与竖直方向平行,可以让倒立摆向与物体偏离方向相反的方向做加速运动,加速度为a。此时倒立摆受力如图:
倒立摆将受到惯性力:
不计空气阻力时,倒立摆运动方向上所受合力为:
当偏移角较小时,有
其中,取近似
当k1>g时,物体在运动方向上受到与回复力方向相反的力。此时,在空气阻力作用下,物体将在平衡位置往返,最终回到平衡位置。而为了让物体尽快回到平衡位置,可以通过外加阻尼力,其大小与物体偏离平衡位置的速度成正比,比例系数为k2,方向相反,则有:
因此,可以通过外力,来使小车保持平衡。而外力的来源即是通过控制小车车轮的加速度,使得小车获得相应的惯性力。其中k1会使得小车向物体倾倒的相反方向做加速运动,k1过大过小将导致小车直接偏离品平衡位置的方向而倾倒;k2使得小车能够尽快回到平衡位置,k2过大过小时,都会影响小车回到平衡位置的调节时间。
二、系统分析
三、改进