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0.前言
最近在学计组，碰到了海明码，但是书上数学语言有点晦涩难懂，而且并没有给出一部分细节的说明(比如为什么2^k -1 >= n+k)，去网上搜索发现，好像网上都没有去做海明码的原理的详细讲解，大多教给你怎么用(那小萌新我来填补一下遗憾吧)。这一篇博客目的是以浅显能懂的语言，告诉你海明码检验和纠错的基本原理，来揭开海明码神奇的面纱吧！
1. 海明码的使用
首先，我们来看海明码的使用案例，网上有很多佬已经做了很多特别详细的讲解，这里我抽一篇，看完这个，相信你对海明码有了初步认识，会怎么用了。
2.理解海明码需要明白的知识
a.奇偶校检法
奇偶校检法主要用于检验传出的数据是否发生错误，它能检验出1位(出现了奇数次错误，理论都应该检测的出来)错误，不能改正错误的校检方法。它的核心原理是，规定传出的二进制串，1出现的次数应该是奇数或者偶数，根据校检位来检测错误。
例如，若用奇数校检法，规定1出现的个数为奇数，如果数据为 0001，则检验没有错误，加入校检位0，则是0 0001。如果接受的数据为 0011，则应该加入校检位1(为了使1出现的次数为奇数)，则是1 0011，因为校检位为1，说明数据发生了错误，需要重传。偶数校检法同理，对校检位的检测，如果是1，则说明数据发生错误，如果是0，则说明没有错误。这就是奇偶校检法。
b.异或运算
异或运算是二进制运算，异或运算是比较二进制，如果相异，则取1，相同则取0，例如1^0 = 1,0^0 = 0等。异或运算的结果可以让我们知道数据中1的个数为奇数还是偶数，若为奇数，则结果是1，若是偶数，则结果是0。异或操作的运算符取^。
例如
1^0 = 1 0^0 = 0 1^1 = 0
1^1^1^0 = 1 0^1^1 = 0 1^0^1^0^1^1 = 0
由此我们可以知道，异或运算的结果可以让我们知道数据中，1出现的次数为奇数还是偶数。因此检验1出现的次数的奇偶性，我们可以对数据进行异或操作。
3.海明码的原理
a.海明码原理的概述
海明码的原理是 多组奇偶校检+哈希表查找 的原理，在检验数据有没有出错是用的多组奇偶校检，而在查找是哪个数据出错，则用了哈希表的原理。海明码用于1位检错和1位纠错，但若再引入一个全局校检码，则可用于2位检错。
b.多个校检位的设计
对数据的检错，其实只需要一个校检位就可以检查出错误，但是海明码用了多个校检位，校检位与数据位结合后，将校检位放到了1,2,4,8...的位上。这样做不仅是为了检查错误，更是为了能计算出错的位置，这就是海明码设计的巧妙之处。下面我们进行剖析。
为什么校检位要放到1,2,4,8...的位上呢？首先我们来看一个表
图中的深色是校检码的序号位置，而浅色是数据的序号位置。1,2,4刚好是2^1,2^2,2^3，并且在二进制中，只有1位是1，其他位都是0。
我们按照二进制进行分组，将1,3,5,7分成一组，2,3,6,7分成一组，4,5,6,7分成一组。
我们观察可以发现，这个分组规则就是根据二进制的位数来分，二进制的第一位为1的一组，第二位为1的一组，第三位为1的一组，则可以有下图
如果一个数据不仅处在分组一，也处在分组二，但不处在分组3。说明这个数据二进制的第一位(从右往左)为1，第二位为1，第三位为0，因此是011。如果只处在分组一，说明这个数据的二进制的第一位(从右往左)为1，其他位均为0，则是001。因此我们可以通过数据在哪些分组的情况，从而确认这个数据应该是多少，这就是海明码的查错的核心原理。
因此将检验位设置为1,2,4,8...原因是，我们可以通过检验位二进制的组合可以得到出错的位置。例如，对于检验位p，1表示该组出错，0表示没有出错，若p1 = 0,p2 = 1,p4 = 1，则说明该出错的数据在第二组和第三组，则二进制组合数应该为110，则出错的位置是6。
c.校检位个数的计算
检验的范围应该是检验位的二进制组合能够表示的范围，假设有2位检验码，则能检验 01 ~ 11的序号位置(不考虑序号0，序号0无法表示)，3位检验码，则能检验的范围是3位二进制数的范围，001 ~ 111。因此数据位和检验码的组合数据的任一序号不应该超出这个范围。
k位二进制数能够表示数的个数是 2^k个，但是其中包含了0，因为序号中没有0，所以要减掉1，这就是该公式的推导。
对于n位数据来说，需要校检码的个数要满足上面公式，且k要最小。例如，有4位数据需要传输，假设加入k位检验位，则加入后的总位数应该为k+4，2^k-1 >= k+4且k为整数，所以k>=3，因此需要3位海明码。
d.海明码的总结
海明码多个检验码的引入，不是为了检验错误(检验错误只需要1个检验码即可)，而是为了查找到错误的位置。通过对检验位二进制的组合，即可得到错误的位置，这便是海明码的神秘面纱，海明码的巧妙之处，这就是为什么说海明码的查错原理类似哈希表的查找原理，根据值来确定索引。 另外，海明码用于1位检错和1位纠错，如果错误的位数超过2，如果引入1个全局校检码，则可以检错，但不能纠正，只能重新传入数据。
4.举例
我们要传入4位数据1010，我们按照偶数校检的方式(最好是偶数检错，这样更容易理解)，1出现的个数只能为偶数次，下面是海明码的过程。
a. 计算校检码的个数
根据公式2^k-1 >= n+k，则我们可以计算得到4位数据码应该需要3位校检码。
b. 计算每一位校检码并且与数据码组合
假设数据是按照D1D2D3D4排列
| D1 | D2 | D3 | D4 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
则校检码(以字母p表示)组合后应该为
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 字母 | p1 | p2 | D1 | p4 | D2 | D3 | D4 |
| 值 | X | X | 1 | X | 0 | 1 | 0 |
p1 = 1 ^ 0 ^ 0 = 1
p2 = 1 ^ 1 ^ 0 = 0
p4 = 0 ^ 1 ^ 0 = 1
则组合后的数据应该为 1011010
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 字母 | p1 | p2 | D1 | p4 | D2 | D3 | D4 |
| 值 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
c. 数据传出，检错验错
数据传出后，我们还需要校检一次(新校检码P)，来检查传出的数据有无发生错误
1) 如果传输过程中，数据没有发生错误
P1 = 1(p1) ^ 1^ 0 ^ 0 = 0
P2 = 0(p2) ^ 1 ^ 1 ^ 0 = 0
P4 = 1(p4) ^ 0 ^ 1 ^ 0 = 0
将校检码进行组合后，应该为 P4P2P1,000，说明数据并没有发生错误
2）如果传输过程中，数据第六位发生了错误
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 原来值 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 出错后的值 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
P1 = 1(p1) ^ 1^ 0 ^ 0 = 0
P2 = 0(p2) ^ 1 ^ 0 ^ 0 = 1
P4 = 1(p4) ^ 0 ^ 0 ^ 0 = 1
将校检码进行二进制组合，得到 110 ，转换为十进制为6，则说明第六位出现了错误
3）如果传输过程中，数据第一位发生了错误(校检码出错)
| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 原来值 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 出错后的值 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
P1 = 0(p1) ^ 1^ 0 ^ 0 = 1
P2 = 0(p2) ^ 1 ^ 1 ^ 0 = 0
P4 = 1(p4) ^ 0 ^ 1 ^ 0 = 0
将校检码进行二进制组合，得到 001 ，转换为十进制为1，则说明第一位出现了错误。