求曲线交点的困惑

前言

典例剖析

例1 求曲线\(C_1：\rho=2sin\theta\)和曲线\(C_2：\rho=2\sqrt{3}cos\theta\)的交点。

法1：在直角坐标系下思考计算，

将曲线\(C_1\)转化为普通方程为\(x^2+(y-1)^2=1\)，

将曲线\(C_2\)转化为普通方程为\((x-\sqrt{3})^2+y^2=3\)，

将二者联立，得到\(\left\{\begin{array}{l}{x^2+(y-1)^2=1}\\{(x-\sqrt{3})^2+y^2=3}\end{array}\right.\)

解得两个交点的坐标为\((0,0)\)和\((\cfrac{\sqrt{3}}{2},\cfrac{3}{2})\)；

法2：在极坐标系下思考计算，

将二者联立，得到\(\left\{\begin{array}{l}{\rho=2sin\theta}\\{\rho=2\sqrt{3}cos\theta}\end{array}\right.\quad\) 消去\(\rho\)，

得到\(tan\theta=\sqrt{3}\)，即\(\theta=\cfrac{\pi}{3}\)。

则