\(0.\) 树状数组

树状数组 \((Binary\ \ Indexed\ \ Trees)\) 是一种可以支持单点修改，较快维护前缀和的数据结构。他的实现方式是用一个数组维护一个“树状”的结构（如下图所示），记录一些区间的区间和，实现快速计算前缀和。

\(1.\) 前置知识

前缀和

能看到这里的同学应该已经对前缀和不陌生了。本片博客就不再赘述

\(lowbit\)操作

\(lowbit\) 操作是表达二进制下最低的 \(1\) 所表达的数值。树状数组利用了这个操作。当我们定义树状数组\(c\)时，\(c[i]=\sum_{j=i-lowbit(i)}^ia[j]\)。

\(lowbit\)实现方式：

inline int lowbit(int x){ return x&(-x); }

~~定义宏也可~~

\(2.\) 单点修改

首先我们考虑对第\(i\)个数进行修改。理所应当我们应该修改所有管控第\(i\)个数的所有节点。我们可以观察到，第[i]个数所对应的父亲节点就是\(i+lowbit(i)\)。所以每次我们只需向上跳，直到\(i>n\)即可完成所有修改

inline void upd(int x,int k){
    for(;x<=n;x+=lowbit(x))
        c[x]+=k;
}

\(3.\)查询前缀和

我们知道，\(lowbit(i)\)代表\(c[i]\)包含自身向前覆盖的区域大小，所以我们能得出\(\sum_1^ia[i]\)就是\(c[i]+c[i-lowbit(i)]+...\)

inline int query(int x){
    rg int res=0;
    for(;x>0;x-=lowbit(x)) res+=c[x];
    return res;
}

（注：洛谷P3374）

\(4.\)树状数组变形

区间修改单点查询

洛谷P3368

我们考虑对\(a[\ ]\)数组建立一个差分数组\(d[\ ]\)。可以发现\(a[i]=\sum_{j=1}^id[j]\)。于是这个问题就变成了一个~~树状数组板子题~~对于差分数组建立树状数组的题目。

不会运用差分维护区间修改单点查询的同学请查看我的另一篇博客（传送门博客未完待续中）或者百度“差分博客园”

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace Enterprise{
    #define rg register
    #define ll long long
    #define ull unsigned long long
    
    inline int read(){
        rg int s=0,f=0;
        rg char ch=getchar();
        while(not isdigit(ch)) f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(isdigit(ch)) s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48),ch=getchar();
        return f?-s:s;
    }
    
    const int N=500015;
    int a[N],d[N],c[N],n,m;
    
    #define lowbit(x) (x&(-x))
    
    inline void upd(int x,int k){
        for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=k;
    }
    
    inline int query(int x){
        rg int res=0;
        for(;x>0;x-=lowbit(x)) res+=c[x];
        return res;
    }
    
    inline void main(){
        n=read(),m=read();
        for(rg int i=1;i<=n;i++){
            a[i]=read();
            d[i]=a[i]-a[i-1];
            upd(i,d[i]);
        }
        
        for(rg int i=1;i<=m;i++){
            rg int opt=read();
            if(opt==1){
                rg int x=read(),y=read(),k=read();
                upd(x,k);
                upd(y+1,-k);
            }else{
                rg int x=read();
                printf("%d\n",query(x));
            }
        }
        
    }
}

signed main(){
    Enterprise::main();
    return 0;
}

区间修改区间查询

区间修改查询是一种~~线段树写起来比较方便~~也可用树状数组维护的问题类型，而且应该是出现频率最高的一种。

作者暂时不在里讲解做法，有兴趣的同学请自行百度

\(5.\) \(Last\ to\ tell\)

树状数组的题线段树均可解决

~~我树状数组板子题线段树过的~~

【算法学习笔记】树状数组