[CodeForces - 1225D]Power Products 【数论】【分解质因数】

标签：题解 codeforces题解数论

题目描述

Time limit
2000 ms
Memory limit
524288 kB
Source
Technocup 2020 - Elimination Round 2
Tags
hashing math number theory *1900
Site
https://codeforces.com/problemset/problem/1225/D

题面

CodeForces - 1225D.png

Example
Input

6 3
1 3 9 8 24 1

Output

5

题目大意

给定\(n, k\)，序列\(a[1 \cdots n]\)。问在该序列中能找到多少组序偶\(<i, j>\)满足\(a_i \cdot a_j = x ^ k\)（其中\(x\)可以为任意整数）。

例如，
\(n = 6, k = 3, a[1 \cdots n] = [1, 3, 9, 8, 24, 1]\)。
则有\[a_1 \cdot a_4 = 1 \cdot 8 = 8 = 2 ^ 3 \\ a_1 \cdot a_6 = 1 \cdot 1 = 1 = 1 ^ 3 \\ a_2 \cdot a_3 = 3 \cdot 9 = 27 = 3 ^ 3 \\ a_3 \cdot a_5 = 9 \cdot 24 = 216 = 6 ^ 3 \\ a_4 \cdot a_6 = 8 \cdot 1 = 8 = 2 ^ 3 \]
共五组情况，所以输出5。

解析

这道题是一道比较裸的数论题，很容易让人直接想到质因数分解。~~虽然我没有想到，当时打比赛都没有做到D题。~~

这题首先不考虑数论的知识，把这种求序偶个数的问题抽象出来。

把这道题抽象为给定\(n, k\)，序列\(a[1 \cdots n]\)。问在该序列中能找到多少组序偶\(<i, j>\)满足\(a_i + a_j = k\)。
这个问题其实很好解决，只要稍微想一下就可以得出答案。令\(cnt[i][j]\)为到第\(i\)个位置，数字\(j\)在之前出现的次数。那么答案应该是\(\sum_i^ncnt[i][k - a[i]]\)。

在实际编程过程中，因为我们每到一个数\(a[i]\)， \(cnt[i][a[i]]\)实际上是在上一个\(cnt[i - 1][a[i]]\)基础上得来的，而这个\(cnt[i - 1][a[i]]\)之后就再也没有用了，其他的\(cnt[i - 1][1 \cdots INF]\)也没有改变，所以我们可以将这个\(cnt\)数组降到一维，这个思想也叫作滚动数组。
下面回到这个问题，把关键的\(a_i \cdot a_j = x ^ k\)加入其中。

首先我们要知道当给定了\(k\)，即使\(x\)的值是不确定的，对于\(t \cdot s = x ^ k\)，对于每一个\(t\)都只有唯一的\(s\)与之对应。
对\(t\)质因数分解，得
\[t = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot p_3^{\alpha_3} \cdot \dots \\ t_0 = p_1^{\alpha_1\% k} \cdot p_2^{\alpha_2\% k} \cdot p_3^{\alpha_3\% k} \cdot \dots\]
则\[s = p_1^{k - (\alpha_1 \% k)} \cdot p_2^{k - (\alpha_2 \% k)} \cdot p_3^{k - (\alpha_3 \% k)} \cdot \dots\]
所以对于每个\(t\)我们只要看之前有多少个这样的\(s\)出现就可以了。

而对于每个\(a_i(t)\)我们实际上要记录的是它的\(t_0\)形式，因为只有这种形式才对答案有贡献。
这样我们在对每个\(a_i\)进行质因数分解的时候就顺带把\(s\)的值也求出来，最后\(\sum_i^ncnt[x ^ k \div a[i]]\)即为答案（\(cnt\)为滚动数组，即到当前\(i\)位置，之前的数字\(x ^ k \div a[i]\)出现的个数）。

通过代码

/*
Status
    Accepted
Time
    46ms
Memory
    396kB
Length
    1076
Lang
    GNU G++11 5.1.0
Submitted
    2019-12-20 16:42:32
RemoteRunId
    67272043
*/

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5 + 50;

int cnt[MAXN];
int x, n, k;
ll y;                       //注意y要开long long.

inline int read()           //快读，1e5数据输入量.
{
    int res = 0;
    char ch;

    ch = getchar();

    while(!isdigit(ch))
        ch = getchar();

    while(isdigit(ch)){
        res = (res << 3) + (res << 1) + ch - 48;
        ch = getchar();
    }

    return res;
}
void work(int p, int &t)
{
    int c = 0;

    while(t % p == 0)
        t /= p, c ++;
    c %= k;

    for(int i = 0; i < c; i ++)
        x *= p;

    for(int i = 0; i < (k - c) % k; i ++){           //(k - c) % k是针对c为0的情况的特判.
        y *= p;

        if(y >= MAXN){
            y = MAXN;
            break;
        }
    }

    return;
}

int main()
{
    ll ans = 0;

    n = read(), k = read();

    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        int t;
        t = read();
        x = y = 1;                                //x对应的是t0，y对应的是s.

        for(int j = 2; j * j <= t; j ++)         //质因数分解.
            if(t % j == 0)   work(j, t);

        if(t > 1)  work(t, t);

        if(y < MAXN){                          //如果得到的y超过1e5，就超过范围找不到了，就没有意义.
            ans += cnt[y];
            cnt[x] ++;
        }
    }

    printf("%I64d", ans);
    return 0;
}