\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x)

是f(x)具有最大值M的x的值的集合。例如,如果f(x)是1- | x |,那么它在x = 0时达到其最大值1并且仅在那里, 所以\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, (1-|x|) = \{0\}.\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, (1-|x|) = \{0\}.

等价地,如果M是f的最大值,那么arg max是最大值的水平集

\underset{x}{\operatorname{arg\,max}} \, f(x) = f^{-1}(M) = \{x\ |\ f(x) = M \}

如果最大值达到一个值,那么一个将该点称为arg max,这意味着我们将arg max定义为一个点,而不是一组点。所以,例如

\underset{x\in \Bbb{R}}{\operatorname{arg\,max}} (x(10-x)) = 5

(而不是单独集合{5}),因为x(10-x)的最大值是25,这在x = 5时发生。 但是,如果在许多值处达到最大值,则arg max是一组点。 然后,我们举例说

\underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{arg\,max}} \, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}

因为cos(x)的最大值是1,当x =0,2π或4π时,这个间隔发生。在整个实线上,arg max是 \{0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, \dots \}.

arg min(或argmin)被类似地定义.

还要注意函数通常不会达到最大值,因此通常不会有arg max\underset{x\in \Bbb{R}}{\operatorname{arg\,max}}\, x 没有定义,因为x在实线上是无界的。然而,通过极值定理(或经典致密性理论),紧凑区间上的连续函数具有最大值,因此arg max。

argmin 表示使目标函数取最小值时的变量值

翻译于:http://www.cppblog.com/guijie/archive/2010/12/13/136273.html