CSP后做题记录

\(\text{min-max}\)容斥 \(\texttt{and}\) \(\text{FMT}\)

\(max(S) = \sum_{T\subseteq S} (-1) ^ {|T|+1} min(T)\)
这个式子可以推广到期望。
主要用来解决一类\(max\)不好算，但\(min\)很好算的问题上。

\(FMT:\)解决子集前缀和以及超集前缀和。
暂时只学了子集和的写法...

for (int i = 0; i < n; i++)
    for (int j = (1 << i); j < (1 << n); j++)
        if (j & (1 << i)) f[j] += f[j ^ (1 << i)];

例题\(\text{A}\): 「HAOI2015」按位或

考虑直接硬套\(\text{min-max}\)容斥。

对于里面的\(min\)，考虑把选到这些子集抽象成一个事件。
于是就有了\(prob(S)=\sum_{i\&S!=0} p_i\)，故可以算出期望次数\(step(S)=1/prob(S)\).
朴素复杂度\(O(4 ^ n)\)。
考虑容斥出\(prob(S)\)，即总可能的减掉不合法的。这个不合法的可以枚举子集，所以更优的方法是枚举补集的子集，\(O(3 ^ n)\).

考虑满分做法，即外面的那坨东西直接先\(O(2 ^ n * n)\)用子集和预处理出来，每次直接查询。

    scanf ("%d", &n);
    for (int i = 0; i < (1 << n); i++) scanf ("%lf", &p[i]), f[i] = p[i];
    
     
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = (1 << i); j < (1 << n); j++)
            if (j & (1 << i)) f[j] += f[j ^ (1 << i)];
    
    
    double ans = 0;
    int s = (1 << n) - 1;  
    for (int t = 0; t < (1 << n); t++) {
        double dt = pow(-1, (__builtin_popcount(t) + 1));
        double prob = f[s] - f[s ^ t]; 
        if (prob) ans += dt / prob; 
    }
    
    if (ans) cout << fixed << setprecision(10) << ans << endl;
    else puts("INF");