BZOJ1006 [HNOI2008]神奇的国度

标签： 弦图

有关弦图的定义与mcs算法请自学（模板）

题意为求弦图的色数\(\chi(G)\)

做法：

最优染色构造：将完美消除序列从后往前依次给每个点染色，给每个点染上可染的最小颜色

证明：

设以上方法用\(col\)个颜色，原图团数为\(\omega(G)\)

引理：\(\omega(G) \leq \chi(G)\)

引理证明：对最大团的导出子图染色，至少需要\(\omega(G)\)种颜色（因为团中每个点都相邻，每个点都需用不同的颜色）

设\(col \geq \chi(G)\)

团上每个点都不同\(\rightarrow col = \omega(G)\)

由引理：\(col = \omega(G) \leq \chi(G)\)，\(col \geq \chi(G)\)

$\therefore t = \omega(G) =\chi(G) $

\(ans = max\{|\{x\} + N(x)|\} = max\{lab_i\} + 1\)

代码： 要开O2优化

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N = 1e4 + 1;

int n, m, u, v, lab[N], p[N];
bool c[N][N], vis[N];

inline void mcs()
{
    for (int i = n; i >= 1; --i)    
    {
        u = 0;
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            if (!vis[j] && (!u || lab[j] > lab[u]))
                u = j;
        vis[u] = 1;
        p[i] = u;
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            if (!vis[j] && c[u][j])
                ++lab[j];
    }       
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)    
    {
        cin >> u >> v;
        c[u][v] = c[v][u] = 1;
    }
    mcs();
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        ans = max(ans, lab[i] + 1);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}