半群与群(Semigroups and Groups)
半群(Semigroup)
非空集合S 和 定义在集合S上的具有结合律(封闭性显然)的二元运算组成了一个半群(S, );
- 通常记为(S, *)或者S
- a*b称为a和b的积
- 如果具有交换律，那么(S, )称为交换群(阿贝尔群)
如:(Z, +); (P(S), ∪)； (Z, -)...
Note:P(S)指的是S的全集，如S={1, 2, 3},那么P(S) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
一些半群的例子:
设\(S^S\)为所有从函数f:S -> S的集合，定义f*g = fog(即复合函数)
- *是定义在\(S^S\)的二元运算
- *具有结合律
- (\(S^S\), *)是一个半群
- 半群\(S^S\)不是交换群(无交换律)
设(L, ≤)是一个格(lattice), 和定义在L上的二元运算*:
- a*b = a∪b
- (L, *)是一个半群
- 操作符·是指连接运算，显然其具有结合律
- 称(\(A^*, ·\))为由A生成的自由半群(free semigroup generated by A)
定理1:
半群的卡特兰律(结合律)
单位元
单位元若存在，则必唯一
独异点(Monoid)，含幺半群
半群(S, *)中存在单位元，则称为独异点
之前例子中的半群\((S^S, *), (A^*, *)\)等均为独异点
子半群(Subsemigroup)
T是S的子集，并且(T, *)同样满足半群定义
子独异点(Submonoid)
T是S的子集，并且(T, *)同样满足独异点定义，同时e∈T
显然，半群(S, )本身也是S的子半群；独异点(S, )本身也是S的子独异点；
T = {e} 一定是群(S, *)的子独异点
幂(Powers)
运算的幂通过如下定义:
生成子群和生成子独异点(由一个元素生成的子半群/子独异点)
同构映射(Isomorphism)
设有两个半群\((S, *)和(T, *^{'})\)
设有函数\(f: S -> T\)
如果
- f是从S->T的一一对应(双射)的函数
- 对任意a，b∈S, 均有\(f(a*b) = f(a)*^{'}f(b)\)
则称f是从S到T的同构映射，简称同构
Note:如果f是从S->T的同构，即f是从S->T的一一对应的函数，那么\(f^{-1}\)必定存在，并且\(f^{-1}\)是从T->S的一一对应的函数(并且一定是同构，下证)
构造同构/判断是否为同构的一般步骤:
- (构造或直接给出)构造一个函数\(f:S -> T\),使得f的定义域Dom(f) = S;
- 证明f是单射(one-to-one)的，可用反证法
- 证明f是满射(onto)的 --> 故而是双射的
证明\(f(a*b) = f(a)*^{'}f(b)\)
EXP:证明(Z, +) -> (T, +)，其中Z是整数集，T是偶数集
定理2:
如果S和T是独异点，且幺元分别为\(e，e^{'}\),并且存在\(f:S->T\)是从S到T的同构映射，那么:
- \(f(e) = e^{'}\)
Note:显然，如果\((S, *)\)是独异点，但\((T, *^{'})\)不是独异点，那么必定不存在从S->T的同构(常用于证明不存在同构)
同态映射(Homomorphism)
设有两个半群\((S, *)和(T, *^{'})\)
设有函数\(f: S -> T\)
如果
- 对任意a，b∈S, 均有\(f(a*b) = f(a)*^{'}f(b)\)
则称f是从S到T的同态映射，简称同态
Note:同构和同态均满足：像点的乘积等于乘积的像点
定理3:
如果S和T是独异点，且幺元分别为\(e，e^{'}\),并且存在\(f:S->T\)是从S到T的同态映射，那么:
- \(f(e) = e^{'}\)
证明过程和定理2类似(略)
定理4:
如果S和T是半群,并且存在\(f:S->T\)是从S到T的同态映射，并且假设\(S^{'}\)是(S, *)的子半群，那么:
- \(S^{'}的像f(S^{'})也是(T, *^{'})\)的子半群
证明如下:
定理5:
如果S是交换半群,T是半群,并且存在\(f:S->T\)是从S到T的同态映射，那么:
- \((T, *^{'})\)也是交换半群
证明如下:
半群直积和商半群(Products and Quotients of Semigroups)
定理1:
两个半群的笛卡尔乘积也是半群
$(S, )和(T, ^{'})是半群，它们的笛卡尔乘积(S×T, ^{''})也是半群，其中二元运算^{''}定义为: (s_1, t_1)^{''}(s_2, t_2) = (s_1s_2, t_1*^{'}t_2)
$同样的，两个独异点的笛卡尔乘积也是独异点且其幺元为\((e_S, e_T)\)
同余关系(Congruence relation)
定义在群\((S, *)\)上的等价关系R，如果满足:
任意a R a' 并且 b R b' ==> \((a*b) R (a'*b')\)
那么我们说R是同余关系
Note:在S中等价于一个关系的所有元素则被划分为一个等价类,对于代数结构(群)也是如此
- 我们让[a] = R(a)来表示包含元素a的等价类
- S/R表示所有等价类的集合
定理2:
令R是定义在半群(S, *)上的同余关系R
下定义关系 口 :其中, 口([a], [b]) = [a] 口 [b] = [a*b],显然 口 是从\(S/R×S/R -> S/R\) 的一个函数
(S/R， 口)是一个半群,并且S/R称为商半群(quotient semigroup或者factor semigroup)
因为 口 对于S/R是一个二元运算并且满足结合律
推论:
如果(S, *)是独异点，那么(S/R, 口)也是独异点(商独异点？)，其幺元为[e]
定理3:
令R为定义在半群(S, *)上的同余关系，(S/R 口)是相应的商半群，那么下面这个函数:
是一个满同态(onto homomorphism)，也称为自然同态(natural homomorphism)
证明如下:
