分类讨论的标准如何选择

前言

解不等式

尤其是二次不等式的求解中，常以两个根的大小分类讨论；

例练 解关于\(x\)的不等式\(x^2-(a^2+a)x+a^3\leq 0\)

分析：将原不等式等价转化为\((x-a^2)(x-a)\leq 0\)，

其对应方程的两个根为\(x=a^2\)和\(x=a\)，分类讨论如下：

\(1^{\circ}\) 当\(a^2>a\)，即\(a<0\)或\(a>1\)时，解集为\([a，a^2]\)；

\(2^{\circ}\) 当\(a^2=a\)，即\(a=0\)或\(a=1\)时，解集为\(\{0，1\}\)；

\(3^{\circ}\) 当\(a^2<a\)，即\(0<a<1\)时，解集为\([a^2，a]\)；

综上所述：

当\(a<0\)或\(a>1\)时，解集为\([a，a^2]\)；

当\(a=0\)或\(a=1\)时，解集为\(\{0，1\}\)；

当\(0<a<1\)时，解集为\([a^2，a]\)；

判断单调性

用导数判断函数的单调性时，常以恒正、恒负、\(0\)分类讨论；

定轴动区间或动轴定区间判断二次函数单调性时，常以对称轴和区间的位置关系分类讨论；