动态$dp$的板子题，然而我线性代数太菜写了好几个小时。
由于我只会树剖的$log^2n$所以跑的也奇慢，不过在一通对拍下终于痛苦$AC$了。
简单说一下$ddp$的思路。
按树剖来说的话，就是分离重儿子和轻儿子在$dp$中的贡献，在数据结构中记录非重儿子的信息。
这样由于我们修改一个点的权值，必然会改变他父链上的点的$dp$值，我们发现这个点作为重儿子的情况下是不需要修改任何信息的，需要修改的仅仅是作为轻儿子的请况，我们发现这样的轻边是$logn$级别的。同时对于父链一条轻边的起点，这个点必然是属于他所属重链的重儿子，那么这条重链非链尾（这个点）的部分均不需要修改，这样修改的次数就是$logn$条的，数据结构维护即可。
首先考虑这道题的$O(nm)dp$。
设$dp[x][0/1]$为点$x$选/不选的情况下，子树的点全部被覆盖的最小代价。
那么有转移：$$dp[x][s]=\begin{cases}&\sum\limits_{t\in son(x)}dp[t][!s]\ s=0&\\&a[x]+\sum\limits_{t\in son(x)}\min{dp[t][s],dp[t][!s]}\ s=1&\end{cases}$$
这样每次一修改我们就重复这一过程，复杂度就是$O(nm)$的了。
考虑复杂度瓶颈。
在于$dp$必须要重复计算每个位置的值，而有很多是没有被修改影响的。
我们考虑一下一个算法，对于修改的点，发现受他影响的只有他父链上的点，那么可以只做父链上的点的$dp$。
然而轻松被链式数据卡成$nm$。
思考一下能不能用数据结构维护这个$dp$。显然不能，这个$dp$暂时不具有结合律。
尝试线性代数优化,结合树剖也许有不一样的效果。
拿出矩阵来。
首先设一个参量$g[x][0/1]$,$ch[x]$为一个节点的重儿子。
定义:$$g[x][s]=\begin{cases}&\sum\limits_{t\in son(x),t!=ch[x]}dp[t][!s]\ s=0&\\&a[x]+\sum\limits_{t\in son(x),t!=ch[x]}\min{dp[t][s],dp[t][!s]}\ s=1&\end{cases}$$
维护一个矩阵：$$R[x]=\left[\begin{array}{c}&+\infty\ g[x][0]&\\&g[x][1]\ g[x][1]&\end{array}\right]$$
维护一个矩阵：$$G[x]=\left[\begin{array}{c}dp[x][0]\\dp[x][1]\end{array}\right]$$
定义一种矩阵运算:$$A=B*C\ <=>\ a_{i,j}=\min\limits_{k}\{b_{i,k}+c_{k,j}\}$$
定义单位元：$$I=\left[\begin{array}{c}&0\ +\infty&\\&+\infty\ 0&\end{array}\right]$$
好，那么根据这种运算我们知道：$$R[x]G[ch[x]]=G[x]$$
这样可以分离重儿子的贡献，并且$dp$的转移也做到了有结合律，可以用数据结构了。
线段树维护重链来做到这一点。
那么对于每一个修改的点，考虑这个点对其轻父链的影响，首先计算出当前点所在重链的矩阵乘积，这个矩阵乘积的后一列就是当前重链顶的$dp$值,这样计算修改前后的差值，这样可以快速的修改轻父链，做到总复杂度$O(nlog^2n)$