[NOIP2018]保卫王国(动态DP)
题面
给出一棵树,有m组询问,每次询问给出两个点,规定他们必须选或必须不选。求树的最小权覆盖集。
分析
此题有倍增+树形dp的做法,常数非常优秀,但思路比较难想到。
显然最小权覆盖集=总点权和-最大权独立集
看到最大权独立集,我们想到板子题[LuoguP4719][模板]动态DP.
考虑如何处理询问。由于我们要权值最小,如果必须选某个点,就把它的点权修改为\(-\infty\),如果必须不选,就修改为\(+\infty\).代码实现上就把它修改成一个较大的数即可,如\(10^{10}\).然后用板子求最大权独立集,再用总和减去。注意当我们把点权修改为\(-\infty\)时,最小权覆盖集会包含\(-\infty\),这时算出的和并不是真正答案,还要加上\(v_x-(-\infty)\),其中\(v_x\)是被强制选的值。
常数较大，注意底层优化。
代码
树剖:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define MAXX 1e10
#define maxn 200000
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
struct edge {
int from;
int to;
int next;
} E[maxn*2+5];
int head[maxn+5];
int esz=1;
void add_edge(int u,int v) {
esz++;
E[esz].from=u;
E[esz].to=v;
E[esz].next=head[u];
head[u]=esz;
}
int fa[maxn+5],son[maxn+5],sz[maxn+5],top[maxn+5],btm[maxn+5],dfn[maxn+5],hash_dfn[maxn+5];
void dfs1(int x,int f) {
sz[x]=1;
fa[x]=f;
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(y!=f) {
dfs1(y,x);
sz[x]+=sz[y];
if(sz[y]>sz[son[x]]) son[x]=y;
}
}
}
int tim=0;
void dfs2(int x,int t) {
top[x]=t;
dfn[x]=++tim;
hash_dfn[dfn[x]]=x;
if(son[x]) {
dfs2(son[x],t);
btm[x]=btm[son[x]];//维护重链最底端节点
} else btm[x]=x;
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(y!=fa[x]&&y!=son[x]) {
dfs2(y,y);
}
}
}
struct matrix {
ll a[2][2];
inline void set(ll x) {
for(int i=0; i<2; i++) {
for(int j=0; j<2; j++) a[i][j]=x;
}
}
friend matrix operator * (matrix p,matrix q) {
matrix ans;
ans.set(-INF);
for(int i=0; i<2; i++) {
for(int j=0; j<2; j++) {
for(int k=0; k<2; k++) {
ans.a[i][j]=max(ans.a[i][j],p.a[i][k]+q.a[k][j]);
}
}
}
return ans;
}
} mat[maxn+5];
ll val[maxn+5];
ll f[maxn+5][2],g[maxn+5][2];
void dfs3(int x) {
f[x][0]=0;
f[x][1]=val[x];
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(y!=fa[x]) {
dfs3(y);
f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
f[x][1]+=f[y][0];
}
}
g[x][0]=0,g[x][1]=val[x];
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(y!=fa[x]&&y!=son[x]) {
g[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
g[x][1]+=f[y][0];
}
}
mat[x].a[0][0]=g[x][0];
mat[x].a[0][1]=g[x][0];
mat[x].a[1][0]=g[x][1];
mat[x].a[1][1]=-INF;
}
struct segment_tree {
struct node {
int l;
int r;
matrix v;
} tree[maxn*4+5];
void push_up(int pos) {
tree[pos].v=tree[pos<<1].v*tree[pos<<1|1].v;
}
void build(int l,int r,int pos) {
tree[pos].l=l;
tree[pos].r=r;
if(l==r) {
tree[pos].v=mat[hash_dfn[l]];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(l,mid,pos<<1);
build(mid+1,r,pos<<1|1);
push_up(pos);
}
void update(int upos,matrix &uval,int pos) {
if(tree[pos].l==tree[pos].r) {
tree[pos].v=uval;
return;
}
int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)>>1;
if(upos<=mid) update(upos,uval,pos<<1);
else update(upos,uval,pos<<1|1);
push_up(pos);
}
matrix query(int L,int R,int pos) {
if(L<=tree[pos].l&&R>=tree[pos].r) return tree[pos].v;
int mid=(tree[pos].l+tree[pos].r)>>1;
matrix ans;
ans.a[0][0]=ans.a[1][1]=0;
ans.a[0][1]=ans.a[1][0]=-INF;
if(L<=mid) ans=ans*query(L,R,pos<<1);
if(R>mid) ans=ans*query(L,R,pos<<1|1);
return ans;
}
} T;
ll sum=0;
pair<ll,ll> get_f(int x) {
//f[x]需要从x所在重链底端推上来,变成区间矩阵乘法
matrix tmp=T.query(dfn[x],dfn[btm[x]],1);
return make_pair(tmp.a[0][0],tmp.a[1][0]);
}
void change(int x,ll v) {
sum+=v-val[x];
g[x][1]+=v-val[x];
val[x]=v;
while(x) {
mat[x].a[0][0]=g[x][0];
mat[x].a[0][1]=g[x][0];
mat[x].a[1][0]=g[x][1];
mat[x].a[1][1]=-INF;
T.update(dfn[x],mat[x],1);
x=top[x];
g[fa[x]][0]-=max(f[x][0],f[x][1]);
g[fa[x]][1]-=f[x][0];
pair<ll,ll>tmp=get_f(x);
f[x][0]=tmp.first;
f[x][1]=tmp.second;
g[fa[x]][0]+=max(f[x][0],f[x][1]);
g[fa[x]][1]+=f[x][0];
x=fa[x];
}
}
ll query(int x,int tx,int y,int ty) {
ll delta=0;
ll tmpx=val[x],tmpy=val[y];
if(tx==1) {
delta+=val[x]+MAXX;
change(x,-MAXX);
} else {
change(x,MAXX);
}
if(ty==1) {
delta+=val[y]+MAXX;
change(y,-MAXX);
} else {
change(y,MAXX);
}
pair<ll,ll> tmp=get_f(1);
ll maxuni=max(tmp.first,tmp.second);
ll ans=sum-maxuni+delta;
if(ans>=MAXX) ans=-1;
change(x,tmpx);
change(y,tmpy);
return ans;
}
int main() {
int u,v,tu,tv;
char nouse[5];
scanf("%d %d %s",&n,&m,nouse);
for(int i=1; i<=n; i++) {
scanf("%lld",&val[i]);
sum+=val[i];
}
for(int i=1; i<n; i++) {
scanf("%d %d",&u,&v);
add_edge(u,v);
add_edge(v,u);
}
dfs1(1,0);
dfs2(1,1);
dfs3(1);
T.build(1,n,1);
for(int i=1; i<=m; i++) {
scanf("%d %d %d %d",&u,&tu,&v,&tv);
printf("%lld\n",query(u,tu,v,tv));
}
}
LCT:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define MAXX 1e10
#define maxn 200000
using namespace std;
typedef long long ll;
template<typename T> void qread(T &x){
x=0;
T sign=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-') sign=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
x=x*sign;
}
template<typename T> void qprint(T x){
if(x<0){
putchar('-');
qprint(-x);
}else if(x==0){
putchar('0');
return;
}else{
if(x>=10) qprint(x/10);
putchar('0'+x%10);
}
}
int n,m;
struct edge {
int from;
int to;
int next;
} E[maxn*2+5];
int head[maxn+5];
int esz=1;
void add_edge(int u,int v) {
esz++;
E[esz].from=u;
E[esz].to=v;
E[esz].next=head[u];
head[u]=esz;
}
struct matrix {
ll a[2][2];
matrix(){
a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=-INF;
}
inline void set(ll x) {
for(int i=0; i<2; i++) {
for(int j=0; j<2; j++) a[i][j]=x;
}
}
friend matrix operator * (matrix p,matrix q) {
matrix ans;
ans.set(-INF);
for(int i=0; i<2; i++) {
for(int j=0; j<2; j++) {
for(int k=0; k<2; k++) {
ans.a[i][j]=max(ans.a[i][j],p.a[i][k]+q.a[k][j]);
}
}
}
return ans;
}
} mat[maxn+5];
ll val[maxn+5];
ll f[maxn+5][2],g[maxn+5][2];
ll sum=0;
struct LCT {
#define lson(x) (tree[x].ch[0])
#define rson(x) (tree[x].ch[1])
#define fa(x) (tree[x].fa)
struct node {
int ch[2];
int fa;
matrix v;
} tree[maxn+5];
inline bool is_root(int x) { //注意合并顺序
return !(lson(fa(x))==x||rson(fa(x))==x);
}
inline int check(int x) {
return rson(fa(x))==x;
}
void push_up(int x) {
tree[x].v=mat[x];
if(lson(x)) tree[x].v=tree[lson(x)].v*tree[x].v;
if(rson(x)) tree[x].v=tree[x].v*tree[rson(x)].v;
}
void rotate(int x) {
int y=tree[x].fa,z=tree[y].fa,k=check(x),w=tree[x].ch[k^1];
tree[y].ch[k]=w;
tree[w].fa=y;
if(!is_root(y)) tree[z].ch[check(y)]=x;
tree[x].fa=z;
tree[x].ch[k^1]=y;
tree[y].fa=x;
push_up(y);
push_up(x);
}
void splay(int x) {
while(!is_root(x)) {
int y=fa(x);
if(!is_root(y)) {
if(check(x)==check(y)) rotate(y);
else rotate(x);
}
rotate(x);
}
}
void access(int x) {
//access的时候可能由实变虚,或由虚变实,因此要更新f,g,方法类似LCT维护虚子树信息
//这里和树剖向上跳重链更新是类似的
if(x==2){
x=2;
}
for(int y=0; x; y=x,x=fa(x)) {
splay(x);
//原来的rson(x)由实变虚
if(rson(x)){
mat[x].a[0][0]+=max(tree[rson(x)].v.a[0][0],tree[rson(x)].v.a[1][0]);//这里也可以不用f和g,直接写对应矩阵里的值
mat[x].a[1][0]+=tree[rson(x)].v.a[0][0];
}
rson(x)=y;
if(rson(x)){
mat[x].a[0][0]-=max(tree[rson(x)].v.a[0][0],tree[rson(x)].v.a[1][0]);
mat[x].a[1][0]-=tree[rson(x)].v.a[0][0];
}
mat[x].a[0][1]=mat[x].a[0][0];
push_up(x);
}
}
void change(int x,ll v) {
access(x);
splay(x);
mat[x].a[1][0]+=v-val[x];
sum+=v-val[x];
push_up(x);
val[x]=v;
}
ll query(int x) {
splay(1);//查询前记得splay到根
return max(tree[1].v.a[0][0],tree[1].v.a[1][0]);
}
} T;
void dfs(int x,int fa) {
f[x][0]=0;
f[x][1]=val[x];
for(int i=head[x]; i; i=E[i].next) {
int y=E[i].to;
if(y!=fa) {
dfs(y,x);
f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
f[x][1]+=f[y][0];
}
}
mat[x].a[0][0]=mat[x].a[0][1]=f[x][0];//一开始全是轻边,f=g
mat[x].a[1][0]=f[x][1];
mat[x].a[1][1]=-INF;
T.tree[x].v=mat[x];//初始化LCT
T.tree[x].fa=fa; //记得初始化fa
}
ll query(int x,int tx,int y,int ty) {
ll delta=0;
ll tmpx=val[x],tmpy=val[y];
if(tx==1) {
delta+=val[x]+MAXX;
T.change(x,-MAXX);
} else {
T.change(x,MAXX);
}
if(ty==1) {
delta+=val[y]+MAXX;
T.change(y,-MAXX);
} else {
T.change(y,MAXX);
}
ll maxuni=T.query(1);
ll ans=sum-maxuni+delta;
if(ans>=MAXX) ans=-1;
T.change(x,tmpx);
T.change(y,tmpy);
return ans;
}
int main() {
int u,v,tu,tv;
char nouse[5];
qread(n);
qread(m);
scanf("%s",nouse);
for(int i=1; i<=n; i++) {
qread(val[i]);
sum+=val[i];
}
for(int i=1; i<n; i++) {
qread(u);
qread(v);
add_edge(u,v);
add_edge(v,u);
}
dfs(1,0);
for(int i=1; i<=m; i++) {
qread(u);
qread(tu);
qread(v);
qread(tv);
qprint(query(u,tu,v,tv));
putchar('\n');
}
}