问题 B: 泳池
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题目描述
小 A 的城市里有 n 座工厂，编号分别为 1 ∼ n。工厂间连有 n − 1 条双向管道，形成一个无向 连通图，其中每条管道都有一定的长度，连接在两座不同的工厂间。 每座工厂都装有废水处理设施，工厂 i 的蓄水量记为 ci。由于工厂规模有限，工厂产生的废水 必须经由管道输送到另一座工厂进行处理。 工厂 u 将废水输送到工厂 v 处理时，所需的运输成本等于无向图中 u, v 间最短路径的长度，并 且会产生 cu − cv 的额外成本（可能为负）。总成本等于运输成本与额外成本的和。 为了降低污染，在接下来的 q 天内，每一天只有一座工厂会产生废水。你需要确定这座工厂将 废水输送到哪一座工厂进行处理，可使得总成本最小。由于选择可能不唯一，你只需输出最小的总 成本。
输入
第一行一个正整数 n。
第二行 n 个正整数 ci。 下接 n − 1 行，每行三个正整数 u, v,w，表示一条双向管道两端工厂的编号及长度。
第 n + 2 行一个正整数 q。 下接 q 行，每行一个正整数 x，表示这一天进行生产的工厂的编号。
输出
输出 q 行，每行一个整数，表示这一天总成本的最小值。
样例输入
5 7 7 6 9 9 2 5 5 2 3 1 4 1 1 1 2 2 4 2 5 3 4
样例输出
1 7 0 3
提示
第 1 天，工厂 2 输送到工厂 4 是一种最优方案，成本为 3 + (−2) = 1。 第 2 天，工厂 5 输送到工厂 2 是一种最优方案，成本为 5 + 2 = 7。 第 3 天，工厂 3 输送到工厂 2 是一种最优方案，成本为 1 + (−1) = 0。 第 4 天，工厂 4 输送到工厂 1 是一种最优方案，成本为 1 + 2 = 3。
题解
树型DP
设f[u]为点u在其子树内的最优选择，g[u]为点u在其子树外的最优选择
那么我们可以很轻松地算出f[u]，顺便记录一下它是由哪一个儿子转移过来的
接下来考虑怎么算g[u]
首先可以发现一个性质（不妨设点v的父亲是u）：
当u的最优选择不在v的子树中时，则v的子树外的最优选择一定是u在全局的最优选择（有可能是u本身）
当u的最优选择在v的子树中时，则v的子树外的最优选择一定是u在全局的次优选择（也有可能是u本身），即除去子树v后的u最优选择，对于这种情况，我们可以分一下类：
（1）在v的兄弟的子树中（不包含兄弟本身）：f[brother]
（2）在v的兄弟中：brother
（3）是它的父亲u本身：u
（4）在它父亲的子树外：g[fa]
然后就可以从上向下计算了
代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int gi()
{
char c;int num=0,flg=1;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flg=-1;
while(c>='0'&&c<='9'){num=num*10+c-48;c=getchar();}
return num*flg;
}
#define N 200005
int fir[N],to[2*N],nxt[2*N],cd[2*N],cnt;
void adde(int a,int b,int c)
{
to[++cnt]=b;cd[cnt]=c;nxt[cnt]=fir[a];fir[a]=cnt;
to[++cnt]=a;cd[cnt]=c;nxt[cnt]=fir[b];fir[b]=cnt;
}
int a[N];
int f[N],g[N],son[N],stt[N],fa[N];
void dfs1(int u)
{
//f[u]=dis(k,u)+a[u]-a[k];
f[u]=0x3f3f3f3f;
int v,p;
for(p=fir[u];p;p=nxt[p]){
v=to[p];
if(v!=fa[u]){
fa[v]=u;
dfs1(v);
if(f[u]>f[v]-a[v]+a[u]+cd[p]){
f[u]=f[v]-a[v]+a[u]+cd[p];
son[u]=son[v];stt[u]=v;
}
if(f[u]>cd[p]+a[u]-a[v]){
f[u]=cd[p]+a[u]-a[v];
son[u]=v;stt[u]=v;
}
}
}
}
void dfs2(int u)
{
if(u==1) g[u]=0x3f3f3f3f;
int v,p,tmp=0x3f3f3f3f;
for(p=fir[u];p;p=nxt[p]){
v=to[p];
if(v!=fa[u]&&v!=stt[u]){
g[v]=cd[p]+a[v]-a[u];//qson->fa
g[v]=min(g[v],min(f[u],g[u])-a[u]+a[v]+cd[p]);//qson->f[fa] and qson->g[fa]
tmp=min(tmp,min(f[v]-a[v]+cd[p],cd[p]-a[v]));//record brother and f[brother]
}
}
for(p=fir[u];p;p=nxt[p]){
v=to[p];
if(v!=fa[u]&&v==stt[u]){
g[v]=cd[p]+a[v]-a[u];//zson->fa
g[v]=min(g[v],tmp+cd[p]+a[v]);//zson->brother
g[v]=min(g[v],g[u]-a[u]+a[v]+cd[p]);//zson->g[fa]
break;
}
}
for(p=fir[u];p;p=nxt[p])
if(to[p]!=fa[u])
dfs2(to[p]);
}
int main()
{
int n,Q,i,u,v,w,x;
n=gi();
for(i=1;i<=n;i++)
a[i]=gi();
for(i=1;i<n;i++){
u=gi();v=gi();w=gi();
adde(u,v,w);
}
dfs1(1);
dfs2(1);
Q=gi();
for(i=1;i<=Q;i++){
x=gi();
printf("%d\n",min(f[x],g[x]));
}
}