最小生成树
首先明白两个概念，什么是生成树以及最小生成树？
相关概念引入：
- 连通：如果顶点v和v’之间由路径，则称v和v’是连通的
- 连通图：如果图中任意两个顶点都是连通的，则称其为连通图
- 连通子图：子图中的顶点为原图的子集，且子图是连通的
生成树： 一个极小连通子图，它包含图中所有顶点，但是仅包含n-1条边（n为顶点个数）
最小生成树： 在生成树的基础上，其各边权值之和最小
如何构建生成树？
MST性质： 假设N是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若（u, v）是一条具有最小权值的边，其中u属于U，v属于V-U，则必存在一棵包含边（u，v）的最小生成树。
最小生成树要求：
- 包含图中所有顶点
- n个顶点仅包含n-1条边
- 各边权值之和最小
先看要求三：权值之和最小，即每次选择权值最小的边即可。要求二：即保证图中不存在环。要求一：每个顶点都要被选中。下面基于prim算法介绍如何构建最小生成树。
prim算法
构造过程:
- 首先选择一个开始顶点（因为最小生成树要求是包含所有顶点，因此选择哪个开始顶点并不会影响最终结果）
- 将选中顶点放入集合U中，选择集合U中的顶点到V-U中的最短路径。
- 将选中的顶点（V-U内的顶点）放入集合U
- 重复步骤2、3，直至U = V
如上图所示：首选顶点V1，将V1加入集合U。选择V1到V-U内顶点距离最短的顶点V3，将V3加入集合U。选择U内顶点到V-U内顶点距离最近的顶点，这里需要注意的是：是从全局的角度选择，不是从单一顶点选择最近的顶点。例如上图，选择V4结束，没有可选的后，并没有回溯到V6，选择V6的邻接点，而是选择了V3->V2，因为V3->V2的距离为5，而V6->V5的距离为6。重复上述步骤，直至图f所示（U = V）。
算法步骤：
首先我们选择邻接矩阵存储图中各顶点间的关系。使用一个标记数组flag，标记加入U内的顶点。为了避免重复扫描，可以借助两个数组一个记录U内顶点到V-U内顶点的最短距离，另一个记录V-U内顶点到U内的最邻接点。
- 初始化上述各数组，存储图的二维矩阵每个元素初始化为无穷大。标记数组全为false（表示U内无顶点）。记录距离和邻接点的数组全为0。
- 给出图中各顶点之间的关系，且给出开始顶点
- 根据开始顶点更新U到V-U内各顶点的距离（邻接矩阵对应行与各邻接点之间的关系），以及记录邻接点的数组
- 找出记录距离数组中到U到V-U内顶点的最小值，对应顶点加入U，更新U到V-U内顶点的距离关系和邻接点关系
- 重复步骤4，直至U = V
代码示例：
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX_SIZE 100
#define INT 1e7
int graph[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
bool flag[MAX_SIZE];
int close[MAX_SIZE];
int low[MAX_SIZE];
void init_array(){
for(int i = 0; i < MAX_SIZE; i++){
for(int j = 0; j < MAX_SIZE; j++)
graph[i][j] = INT;
}
}
void init_graph(int m){
for(int i = 0; i < m; i++){
int x, y, z;
cin >> x >> y >> z;
graph[x][y] = z;
graph[y][x] = z;
}
}
void prim(int n, int s){
flag[s] = true;
for(int i = 1; i <= n; i++){
if(i != s){
close[i] = 1;
low[i] = graph[s][i];
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
int min = INT, t = -1;
for(int j = 1; j <= n; j++){
if(!flag[j] && low[j] < min){
min = low[j];
t = j;
}
}
if(t == s) return;
flag[t] = true;
for(int j = 1; j <= n; j++){
if(!flag[j] && graph[t][j] < low[j]){
low[j] = graph[t][j];
close[j] = t;
}
}
}
}
int calculate_weight(int n){
int sum = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
sum += low[i];
return sum;
}
int main(){
int n, m, s;
cin >> n >> m >> s;
init_array();
init_graph(m);
prim(n, s);
calculate_weight(n);
return 0;
}观察代码，每次查找最小值要O(n)的时间，此外共需要执行n次，因此时间复杂度为O(n^2)。