浅谈2-SAT问题

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$\qquad2-SAT$ 问题是这样的：有 $n$ 个布尔型变量 $x_i$ ，另有 $m$ 个需要满足的条件，每个条件的形式都是“ $x_i$ 为真/假或者 $x_j$ 为真/假”。比如：“ $x_1$ 为真或者 $x_3$ 为假”、“ $x_7$ 为假或者 $x_2$ 为假”都是合法的条件。注意这里的“或”是指两个条件至少有一个是正确的，比如 $x_1$ 和 $x_3$ 一共有 $3$ 种组合满足“ $x_1$ 为真或者 $x_3$ 为假”，即 $x_1$ 真 $x_3$ 真、 $x_1$ 真 $x_3$ 假、 $x_1$ 假 $x_3$ 假。 $2-SAT$ 问题的目标是给每个变量赋值，使得所有的条件得到满足。

$\qquad2-SAT$ 的解法有多种不同的叙述方式，这里采取一种比较容易理解，且效率也不错的方式。构造一张有向图 $G$ ，其中每个变量 $x_i$ 拆成两个结点 $2i$ 和 $2i+1$ ，分别表示 $x_i$ 为假和 $x_i$ 为真。最后要为每个变量选其中的一个结点进行标记。比如：若标记了结点 $2i$ ，表示 $x_i$ 为假；如果标记了 $2i+1$ ，表示 $x_i$ 为真。

$\qquad$ 对于“ $x_i$ 为假或者 $x_j$ 为假”这样的条件，我们连一条有向边 $2i+1\rightarrow 2j$ ，表示如果标记结点 $2i+1$ 那么也必须标记结点 $j$ （因为如果 $x_i$ 为真，则必须 $x_j$ 为假才能使条件成立）。这条有向边相当于“推导出”的意思。同理，还需要连一条有向边 $2j+1\rightarrow 2i$ 。对于其他情况，也可以类似连边。换句话说，每个条件对应两条“对称”的边¹。

$\qquad$ 接下来逐一考虑每一个没有赋值的变量，设为 $x_i$ 。我们先假定它为假，然后标记结点 $2i$ ，并且沿着有向边标记所有能标记的结点。如果标记过程中发现某个变量对应的两个结点都被标记，则“ $x_i$ 为假这个假定不成立，需要改为 $x_i$ 为真”，然后重新标记。注意，这个算法没有回溯过程。如果当前考虑的变量不管赋值为真还是假都会引起矛盾，可以证明整个 $2-SAT$ 问题无解（即使调整以前赋值的其他变量也没用）。

struct Two_SAT
{
    int n,c,s[kmax<<1];
    vector<int> G[kmax<<1];
    bool mark[kmax<<1];

    bool dfs(int x)
    {
        if(mark[x^1]) return false;
        if(mark[x]) return true;
        mark[x]=true;
        s[c++]=x;
        int l=G[x].size();
        for(int i=0;i<l;i++)
        {
            if(!dfs(G[x][i])) return false;
        }
        return true;
    }

    void init(int x)
    {
        this->n=x;
        for(int i=0;i<(n<<1);i++) G[i].clear();
        memset(mark,0,sizeof(mark));
    }

    ///x=xval or y=yval
    void all_clause(int x,int xval,int y,int yval)
    {
        x=(x<<1)+xval;
        y=(y<<1)+yval;
        G[x^1].push_back(y);
        G[y^1].push_back(x);
    }

    bool solve()
    {
        for(int i=0;i<(n<<1);i+=2)
        {
            if(!mark[i]&&!mark[i+1])
            {
                c=0;
                if(!dfs(i))
                {
                    while(c>0) mark[s[--c]]=false;
                    if(!dfs(i+1)) return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }
};

参考文献：
刘汝佳,陈锋.算法竞赛入门经典——训练指南[M].清华大学出版社:北京,2018:323-324.

但有时会出现已知某个变量为某个取值的情况，导致整个图不对称。 ↩︎

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