2-SAT

Problem

N个变量，每个变量只有2种可能的取值。再给M个条件，形如“若变量A[i]赋值为A(i, p)，那么变量A[j]就必须赋值为A(j, q)”，其中p，q∈[0, 1]。问是否存在合法赋值，满足所有条件。

Solution

（1）建立2*N个节点的有向图，每个A[i]对于两个节点，不妨设为i和i + N。

（2）考虑每个条件，从i + p * N发出有向边到j + q * N。

（3）对于每个条件的逆否命题（原命题与逆否命题等效），即“若变量A[j]赋值为A(j, 1 - q)，则A[i]必须赋值为A[i, 1 - p]”，这个也要连边的。（但是如果题里条件给了这个，那连重边也没什么意义）

现在，这张图成了二分图，且连边（不算方向）对称。

（4）用Tarjan求出所有强连通分量。

（5）若存在i∈[1, N]，满足i与i + N在同一个分量中，则表明：若A[i]赋值为A(i, p)，则A[i]必须赋值为A(i, 1 - p)。矛盾，无解。所以若所有i都不满足这个条件，就有解。

复杂度：O(N + M)。

那如何构造出呢？

※若一个SCC中的任意一个点被赋值，那么这个SCC就固定了。所以我们可以考虑缩点。

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中间的步骤我并没有看懂，所以留坑。

有一个很好的优化，Tarjan求强连通分量时，回溯时会优先取出有向图“底部”的SCC进行标记。故，本身就已经满足了DAG中“自底向上”的拓扑序。

所以我们不用缩点直接确定。直接比较belong[i]（所在SCC的编号），就能得出val[i]。若val[i] = 1，则X[i]应取X(i, 1)，否则取X(i, 0)。

明天再coding。