版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
HDU 2485
网上的很多人都是去用网络流，费用流之类的去解决这类问题，但是呢，实际上他们都有各自的BUG，举例说一下吧。
对于最小割，我们无法处理的是对于某个点，它实际上是唯一需要删去的点，但是，由它产生的对于最小割的贡献的线路不唯一，也就是这个点会造成一条无向边（题目中原有的是有向边，但是制造回路之后会制造出无向边），于是是的答案偏大了。
8 10 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 8
1 7
7 8
4 7
7 4正解应该是1，直接删去的是7那个点就是可以的。
对于费用流，答案会偏小，为什么，我们每次都去选择的是此时我们找到的最小费用是不是为“≤K”的，如果是，那么答案就"ans++"，但是呢，假如这条链上存在的两个点都是必须要删除的点呢？
10 11 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 10
2 9
1 6
6 7
7 8
8 9
9 10如果费用流，会直接走1-2-9-10，但是2和9都是必须要删掉的点呢！
但是我们还是来讲讲那些个最小割与费用流思路的部分正确原因——“部分分”
最小割
我们先正向跑一遍最短路，然后从N终点反向跑一遍最短路，这时候我们就可以判断某一条边是不是“必要边”，那么怎么办呢？如果（存在u->v这条边的时候）从起点到u和从终点到v的距离之和+1 ≤ K，那么这条边就是必要边。然后去拆点跑最小割，看看有多少个点必要删除的。（这里也没有什么矛盾啊，毕竟是必要删除，而不是最少的必要删除，所以答案偏大。）
Code：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#define lowbit(x) ( x&( -x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define efs 1e-7
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 107, maxE = 1e4 + 7;
int N, M, K, tot;
struct Path
{
int head[maxN], cnt, nex[maxE], to[maxE], S, T;
queue<int> Q;
int dis[maxN];
bool inque[maxN];
inline void init()
{
cnt = 0;
for(int i=1; i<=N; i++) head[i] = -1;
for(int i=1; i<=N; i++) dis[i] = 0;
while(!Q.empty()) Q.pop();
}
inline void addEddge(int u, int v)
{
nex[cnt] = head[u]; to[cnt] = v; ;
head[u] = cnt++;
}
inline void _add(int u, int v) { addEddge(u, v); addEddge(v, u); }
inline void spfa()
{
for(int i=1; i<=N; i++) dis[i] = INF;
dis[S] = 0; inque[S] = true; Q.push(S);
while(!Q.empty())
{
int u = Q.front(); Q.pop(); inque[u] = false;
for(int i=head[u], v; ~i; i=nex[i])
{
v = to[i];
if(dis[v] > dis[u] + 1)
{
dis[v] = dis[u] + 1;
if(!inque[v])
{
inque[v] = true;
Q.push(v);
}
}
}
}
}
}edge[2];
struct Graph
{
int head[maxN], cur[maxN], cnt, nex[maxE], to[maxE], flow[maxE];
inline void addEddge(int u, int v, int f)
{
nex[cnt] = head[u]; to[cnt] = v; flow[cnt] = f;
head[u] = cnt++;
}
inline void _add(int u, int v, int f) { addEddge(u, v, f); addEddge(v, u, 0); }
int S, T;
int deep[maxN];
inline bool bfs()
{
queue<int> Q;
for(int i=0; i<=tot; i++) deep[i] = 0;
deep[S] = 1; Q.push(S);
while(!Q.empty())
{
int u = Q.front(); Q.pop();
for(int i=head[u], v, f; ~i; i=nex[i])
{
v = to[i]; f = flow[i];
if(f && !deep[v])
{
deep[v] = deep[u] + 1;
Q.push(v);
}
}
}
return deep[T];
}
int dfs(int u, int FLOW)
{
if(u == T) return FLOW;
for(int &i=cur[u], v, f; ~i; i=nex[i])
{
v = to[i]; f = flow[i];
if(deep[v] == deep[u] + 1 && f)
{
int di = dfs(v, min(FLOW, f));
if(di)
{
flow[i] -= di;
flow[i^1] += di;
return di;
}
}
}
return 0;
}
int Dinic()
{
int ans = 0, tmp;
while(bfs())
{
for(int i=1; i<=tot; i++) cur[i] = head[i];
while((tmp = dfs(S, INF))) ans += tmp;
}
return ans;
}
inline void init()
{
cnt = 0; S = N + 1; T = N;
for(int i=1; i<=tot; i++) head[i] = -1;
for(int i=1; i<=N; i++) _add(i, i + N, 1);
}
}E;
inline void init()
{
tot = N << 1;
E.init();
edge[0].init(); edge[1].init();
edge[0].S = 1; edge[1].S = N;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d", &N, &M, &K) && (N | M | K))
{
init();
for(int i=1, u, v; i<=M; i++)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
edge[0].addEddge(u, v);
edge[1].addEddge(v, u);
}
edge[0].spfa(); edge[1].spfa();
for(int u=1; u<=N; u++)
{
for(int i=edge[0].head[u], v; ~i; i=edge[0].nex[i])
{
v = edge[0].to[i];
if(edge[0].dis[u] + edge[1].dis[v] + 1 > K) continue;
E._add(u + N, v, 1);
}
}
printf("%d\n", E.Dinic());
}
return 0;
}费用流
这时候，我们该去考虑最小费用了，我们知道费用流的做法是每次找到一条最短的有流的路径，然后去把这条路径的费用去给加上去，那么，我们是不是要删除到直到没有可以跑进K距离的时候就是完成删边的时候呢？是的，但是我们实际上是不确保需要删除的链上是否存在个多个必删的点。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#define lowbit(x) ( x&( -x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define efs 1e-7
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 107, maxE = 1e4 + 7;
int N, M, K, tot;
struct Graph
{
int head[maxN], cur[maxN], cnt, nex[maxE], to[maxE], UU[maxE], flow[maxE], cost[maxE];
inline void addEddge(int u, int v, int f, int c)
{
nex[cnt] = head[u]; to[cnt] = v; flow[cnt] = f; cost[cnt] = c; UU[cnt] = u;
head[u] = cnt++;
}
inline void _add(int u, int v, int f, int c) { addEddge(u, v, f, c); addEddge(v, u, 0, -c); }
int S, T;
int pre_P[maxN], pre_E[maxN], h[maxN], dist[maxN];
struct node
{
int id, val;
node(int a=0, int b=0):id(a), val(b) {}
friend bool operator < (node e1, node e2) { return e1.val > e2.val; }
};
priority_queue<node> Q;
inline int MaxFlow_MinCost(int Flow)
{
int ans = 0;
for(int i=1; i<=tot; i++) h[i] = 0;
while(Flow)
{
while(!Q.empty()) Q.pop();
for(int i=1; i<=tot; i++) dist[i] = INF;
dist[S] = 0; Q.push(node(S, 0));
while(!Q.empty())
{
node now = Q.top(); Q.pop();
int u = now.id;
if(dist[u] < now.val) continue;
for(int i=head[u], v, f, c; ~i; i=nex[i])
{
v = to[i]; f = flow[i]; c = cost[i];
if(f && dist[v] > dist[u] + c + h[u] - h[v])
{
dist[v] = dist[u] + c + h[u] - h[v];
pre_P[v] = u; pre_E[v] = i;
Q.push(node(v, dist[v]));
}
}
}
if(dist[T] >= INF) break;
for(int i=1; i<=tot; i++) h[i] += dist[i];
int Capa = Flow;
for(int u=T; u != S; u=pre_P[u]) Capa = min(Capa, flow[pre_E[u]]);
Flow -= Capa;
if(Capa * h[T] > K) break;
ans++;
for(int u=T; u != S; u=pre_P[u])
{
flow[pre_E[u]] -= Capa;
flow[pre_E[u] ^ 1] += Capa;
}
}
return ans;
}
inline void init()
{
cnt = 0; S = 1; T = N << 1;
for(int i=1; i<=tot; i++) head[i] = -1;
for(int i=1; i<=N; i++)
{
if(i == 1 || i == N) _add(i, i + N, INF, 0);
else _add(i, i + N, 1, 0);
}
}
}E;
inline void init()
{
tot = N << 1;
E.init();
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d", &N, &M, &K) && (N | M | K))
{
init();
for(int i=1, u, v; i<=M; i++)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
E._add(u + N, v, 1, 1);
}
printf("%d\n", E.MaxFlow_MinCost(INF));
}
return 0;
}搜索
这时候我们可以直接去枚举答案，因为只有N个点，所以呢最多也就是删除N-2个点（起点和终点是稳定不能删除的点）。
然后，我们去枚举答案，如果不删就可以完成，如果删一个点就可以完成……以此类推。
这时候就是真暴力了，看需要删除几个点，然后呢，我们去寻找这样的从起点到终点的链（距离≤K），去枚举删除链的哪个点会使得答案尽可能有解呢？然后每次的搜索都是去搜索一条链，这里用了SPFA，搜到了N，并且距离≤K的时候就是直接返回了。
然后，若是查到了答案就是直接返回了。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#define lowbit(x) ( x&( -x) )
#define pi 3.141592653589793
#define e 2.718281828459045
#define INF 0x3f3f3f3f
#define efs 1e-7
#define HalF (l + r)>>1
#define lsn rt<<1
#define rsn rt<<1|1
#define Lson lsn, l, mid
#define Rson rsn, mid+1, r
#define QL Lson, ql, qr
#define QR Rson, ql, qr
#define myself rt, l, r
#define MP(a, b) make_pair(a, b)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uit;
typedef long long ll;
const int maxN = 107, maxE = 1e4 + 7;
int N, M, K, head[maxN], cnt;
int chose[maxN][maxN]; //第几条链（也是答案上限限定），此时链上的第几个点
bool used[maxN]; //这个点被禁止使用
struct Eddge
{
int nex, to;
Eddge(int a=-1, int b=0):nex(a), to(b) {}
}edge[maxE];
inline void addEddge(int u, int v)
{
edge[cnt] = Eddge(head[u], v);
head[u] = cnt++;
}
int dis[maxN], pre[maxN];
bool inque[maxN];
inline bool spfa()
{
for(int i=1; i<=N; i++) { dis[i] = INF; inque[i] = false; }
queue<int> Q;
Q.push(1); dis[1] = 0;
while(!Q.empty())
{
int u = Q.front(); Q.pop();
for(int i=head[u], v; ~i; i=edge[i].nex)
{
v = edge[i].to;
if(used[v]) continue;
if(dis[v] > dis[u] + 1)
{
dis[v] = dis[u] + 1;
pre[v] = u;
if(v == N && dis[v] <= K) return true;
if(!inque[v])
{
inque[v] = true;
Q.push(v);
}
}
}
}
return false;
}
bool dfs(int deep)
{
if(!spfa()) return true;
if(!deep) return false;
int now = pre[N], have = 0;
while(now ^ 1)
{
chose[deep][have++] = now;
now = pre[now];
}
bool flag = false;
for(int i=0; i<have; i++)
{
now = chose[deep][i];
used[now] = true;
flag = dfs(deep - 1);
used[now] = false;
if(flag) return true;
}
return false;
}
inline void init()
{
cnt = 0;
for(int i=1; i<=N; i++) { head[i] = -1; used[i] = false; }
}
int main()
{
while(scanf("%d%d%d", &N, &M, &K) && (N | M | K))
{
init();
for(int i=1, u, v; i<=M; i++)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
addEddge(u, v);
}
int ans = 0;
bool flag = false;
for(; ans<N-2; ans++)
{
flag = dfs(ans);
if(flag) break;
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}