深入理解计算机系统——第二章—2.2整数表示

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2.2 整数表示

符号	类型	含义
$B2T_w$	函数	二进制转补码
$B2U_w$	函数	二进制转无符号数
$U2B_w$	函数	无符号数转二进制
$U2T_w$	函数	无符号数转补码
$T2B_w$	函数	补码转二进制
$T2U_w$	函数	补码转无符号数
$TMin_w$	常数	最小补码值
$TMax_w$	常数	最大补码值
$UMax_w$	常数	最大无符号数
$+{_w^t}$	常数	补码加法
$+{_w^u}$	常数	无符号数加法
$*{_w^t}$	常数	补码乘法
$*{_w^u}$	常数	无符号数乘法
$-{_w^t}$	常数	补码取反
$-{_w^u}$	常数	无符号数取反

2.2.2 无符号数（Binary to Unsigned）编码

原理：无符号数编码定义
$\vec x = [ x_{w-1},x_{w-2},...,x_{0}]$
$B2U_w(\vec x) \dot = \sum_{i = 0}^{w-1}x_i2^i\qquad （2.1）$
$\red {\tt{e.g.:}}\\ B2U_4([0110])=0*2^3+1*2^2+1*2^1+0*2^0=6\qquad （2.2）$

$\blue {tips:} \\ UMax_w \dot = \sum_{i=0}^{w-1}2^i=2^w-1$

2.2.3 补码（Binary to Two’s-complement）编码

原理：补码编码定义
$\vec x = [ x_{w-1},x_{w-2},...,x_{0}]\\[2ex] B2T_w(\vec x) \dot =-x_{w-1}2^{w-1}+ \sum_{i = 0}^{w-2}x_i2^i\qquad （2.3）\\[2ex] \red {\tt{e.g.:}}\\[2ex] B2T_4([1110])=1*2^3+1*2^2+1*2^1+0*2^0=-2\qquad （2.4）\\[2ex] TMin_w \dot =-2^{w-1} \\[2ex] TMax_w \dot = \sum_{i=0}^{w-2}2^i=2^{w-1}-1 \\[2ex] \blue{tips:} \\[2ex] |TMin|=|TMax|+1 \\[2ex] \green {extend:} \\[2ex] 反码（Ones' Complement）: \\[2ex] B2O_w(\vec x) \dot =-x_{w-1}(2^{w-1}-1)+ \sum_{i = 0}^{w-2}x_i2^i \\[2ex] 原码（Signed-Magnitude）: \\[2ex] B2S_w(\vec x) \dot =(-1)^{x_{w-1}}*( \sum_{i = 0}^{w-2}x_i2^i)$

2.2.4 有符号数和无符号数之间的转换

原理：补码转换为无符号数
$Tmin_w \le x \le Tmax_w: \\[2ex] T2U_w( x) =\begin{cases} x+2^w, & x<0 \\[2ex] x,& x\geq0 \end{cases}\qquad （2.5） \\[2ex] \red{\tt {e.g.:}} \\[2ex] T2U_{16}(-12345)=-12345+2^{16}=53191 \\[2ex] T2U_{w}(-1)=-1+2^{w}=UMax_w$
推导：补码转换为无符号数
$B2U_w(T2B_w(x))=T2U_w(x)=x+x_{w-1}2^w \qquad （2.6）\\[2ex] \red { \tt {e.g.:}} \\[2ex]$

原理：无符号数转换为补码
$0\le u \le UMax_w : \\[2ex] U2T_w( u) = \begin{cases} u, & u\leq TMax_w \\[2ex] u-2^w, & u>TMax_w \end{cases} \qquad （2.7）$
推导：无符号数转换为补码
$\vec u=U2B_w(u)=U2T_w(u) \\[2ex] 结合公式（2.1）和（2.3）有 \\[2ex] U2T_w(u)=-u_{w-1}2^w+u \qquad （2.8）\\[2ex] \green {conclusion：} \\[2ex] \purple { 0\leq x \leq Tmax_w \\[2ex] T2U_w(x)=x=U2T_w \\[2ex] x>0||x>Tmax_w \\[2ex] T2u_w(x)=x \pm 2^w \\[2ex] T2U_w(TMin_w)=-2^{w-1}+ 2^w=2^{w-1}}$

2.2.6 扩展一个数字的位表示

原理：无符号数的零扩展
$定义宽度为w的位向量 \\[2ex] \vec u=[u_{w-1},u_{w-2},...,u_{0}] \\[2ex] 和宽度为w'的位向量 \\[2ex] \vec u'=[\blue {0,0},u_{w-1},u_{w-2}...,u_{0}], \\[2ex] 其中w'>w。则 \\[2ex] B2U_w(\vec u)=B2U_{w'}(\vec u')。$
原理：补码数的符号扩展
$定义宽度为w的位向量 \\[2ex] \vec x=[\blue {x_{w-1}},x_{w-2},...,x_{0}] \\[2ex] 和宽度为w的位向量 \\[2ex] \vec x'=[\blue {x_{w-1},,x_{w-1}},x_{w-2},...,x_{0}], \\[2ex] 其中w'>w。则 \\[2ex] B2T_w(\vec x)=B2T_{w'}(\vec x)。$
推导：补码数值的符号扩展
$令w'=w+k \; 我们要证明 \\[2ex] B2T_{w+k}([\blue {x_{w-1},...,x_{w-1},x_{w-1}},x_{w-2},...,x_{0}])=B2T_{w}([\blue {x_{w-1}},x_{w-2},...,x_{0}]) \\[2ex] 对k进行归纳证明，只要扩展一位保持这种属性就可以证明以上等式成立 \\[2ex] B2T_{w+1}([\blue {x_{w-1},x_{w-1}},x_{w-2},...,x_{0}])=B2T_{w}([\blue {x_{w-1}},x_{w-2},...,x_{0}]) \\[2ex] 通过公式（2.3）左边展开 \\[2ex] B2T_{w+1}([\blue {x_{w-1},x_{w-1}},x_{w-2},...,x_{0}])=-\blue{x_{w-1}}2^w+\sum_{i=0}^{w-1}x_i2^i \\[2ex]=-\blue{x_{w-1}}2^w+\blue{x_{w-1}}2^{w-1}+\sum_{i=0}^{w-2}x_i2^i \\[2ex] =-\blue{x_{w-1}}2^{w-1}+\sum_{i=0}^{w-2}x_i2^i \\[2ex] = B2T_{w}([\blue {x_{w-1}},x_{w-2},...,x_{0}])$

2.2.7 截断数字

原理：截断无符号数