深入理解计算机系统——第二章—2.3整数运算

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2.3 整数运算

2.3.1 无符号数加法

原理：无符号数加法
$对于0\le x,y<2^w：\\[2ex] x+_w^u y ={\begin{cases} x+y, & x+y<2^w & 正常 \\[2ex] x+y-2^w, & 2^w \leq x+y <2^{w+1} & 溢出 \end{cases}}\qquad （2.11）\\[2ex] \red {\tt {e.g:}}对于四位数的加法有 \\[2ex] \text {0x}0B+\text {0x}0C= \text {0x}17(溢出)=\text {0x}7$
原理：检测无符号数加法中的溢出
$对于0\le x,y<UMax_w：\\[2ex] (x+_w^uy)<x||(x+_w^uy)<y，则发生了溢出。$
原理：无符号数求反
$对于任意x必然存在某个值-_w^ux满足-_w^ux+_w^ux=0。\\[2ex] 对于0\le x<2^w：\\[2ex] -_w^ux ={\begin {cases} x,&x=0 \\[2ex] 2^w-x,&x>0 \end{cases}}\qquad （2.12）$
推导：无符号数求反
$x=0\impliedby 0+0=0 \\[2ex] 2^w-x \impliedby 0<2^w-x<2^w\impliedby (x+2^w-x)\; mod \; 2^w = 2^w \; mod \; 2^w = 0$

2.3.2 补码加法

原理：补码加法
$对于-2^{w-1} \leq x, y \leq 2^{w-1}-1：\\[2ex] x + _w^ty ={\begin {cases} x + y-2^w, & 2^{w-1} \leq x+y & 正溢出 \\[2ex] x + y, & -2^{w-1} \leq x+y < 2^{w-1} & 正常 \\[2ex] x + y + 2^w, & x+y < -2^{w-1} & 负溢出 \end{cases}} \qquad （2.13）$
推导：补码加法
$x + _w^t y \dot = U2T_w(T2U_w(x) + _w^u T2U_w(y)) \qquad （2.14）\\[2ex] 据等式（2.6）\\[2ex] \purple { B2U_w(T2B_w(x))=T2U_w(x)=x+x_{w-1}2^w \qquad （2.6）\\[2ex] } \implies T2U_w (x) = x_{w-1} 2^w + x \\[2ex] T2U_w (y) = y_{w-1} 2^w + y \\[2ex] x + _w^t y \dot = U2T_w(T2U_w(x) + _w^u T2U_w(y)) \\[2ex] \implies U2T_w[(x_{w-1}2^w + x + y_{w-1} 2^w + y) \; mod \; 2^w] \\[2ex] \implies U2T_w[(x + y) \; mod \; 2^w] \\[2ex] 令 z \dot = x + y, \; z' \dot = z \; mod \; 2^w, \; z'' \dot = U2T_w(z') = x + _w^t y。\\[2ex] 情况1：\\[2ex] -2^w \leq z < -2^{w-1} \\[2ex] z'=z+2^w \implies 0 \leq z' < -2^{w-1} + 2^w = 2^{w-1} \\[2ex] 检查等式（2.7）\\[2ex] \purple { 0 \le u \le UMax_w \dot = \sum_{i=0}^{w-1} 2^i = 2^w -1 : \\[2ex] U2T_w( u) = \begin{cases} u, & u\leq TMax_w \\[2ex] u-2^w, & u>TMax_w \end{cases} \qquad （2.7） } \\[2ex] TMax_w \dot = \sum_{i=0}^{w-1} 2^i = 2^{w -1} - 1 \\[2ex] TMin_w \dot = -2^{w-1} \\[2ex] 有 \\[2ex] 0 \le z' < 2^w : \\[2ex] U2T_w( z') = \begin{cases} z', & z' \leq TMax_w \\[2ex] z'-2^w, & z' > TMax_w \end{cases} \qquad \\[2ex] \implies z'' = z' = z + 2^w = x + y + 2^w > 0 \; \text {负溢出（negative overflow）} \\[2ex] 情况2：\\[2ex] -2^w \leq z < 0 \\[2ex] z'=z+2^w \implies -2^{w-1} + 2^w = 2^{w-1} \leq z' < 2^w \\[2ex] 检查等式（2.7）\\[2ex] \purple { 0 \le u \le UMax_w \dot = \sum_{i=0}^{w-1} 2^i = 2^w -1 : \\[2ex] U2T_w( u) = \begin{cases} u, & u\leq TMax_w \\[2ex] u-2^w, & u>TMax_w \end{cases} \qquad （2.7） } \\[2ex] TMax_w \dot = \sum_{i=0}^{w-1} 2^i = 2^{w -1} - 1 \\[2ex] TMin_w \dot = -2^{w-1} \\[2ex] 有 \\[2ex] 2^{w-1} \leq z' < 2^w : \\[2ex] U2T_w( z') = \begin{cases} z', & z' \leq TMax_w \\[2ex] z'-2^w, & z' > TMax_w \end{cases} \qquad \\[2ex] \implies z'' = z' - 2^w = x + y + 2^w - 2^w = x + y \\[2ex] 情况3：\\[2ex] 0 \leq z < 2^{w-1} \\[2ex] z' = z \implies 0 \leq z' < 2^{w-1} \\[2ex] \implies z'' = z' = z = x + y \\[2ex] 情况4：\\[2ex] 2^{w-1} \leq z < 2^{w} \\[2ex] z' = z \implies 2^{w-1} \leq z' < 2^{w} \\[2ex] \implies z'' = z' - 2^w = x + y -2^w < 0 \text {正溢出（positive overflow）} \\[2ex] \red {\tt {e.g.:}} \\[2ex] {\begin {cases} x = -8 = [1000], \\[2ex] y = -5 = [1011], \\[2ex] \end{cases}} \implies {\begin {cases} x + y = -13 = [10011], \\[2ex] x +_4^t y = 3 = [0011], \\[2ex] \end{cases}} \qquad 情况1 \\[2ex]$
原理：检测补码加法的溢出
$TMin_w \leq x,\; y \leq TMax_w,\; s \dot = x +_w^t y \Downarrow \\[2ex] {\begin {cases} x > 0,\; y > 0,\; s \leq 0 \implies & 正溢出 \\[2ex] x < 0,\; y < 0,\; s \geq 0 \implies & 负溢出 \\[2ex] \end{cases}} \\[2ex]$

2.2.3 补码的非

原理：补码的非
$TMin_w \leq x \leq TMax_w \Downarrow \\[2ex] -_w^tx= {\begin {cases} TMin_w, & x=TMin_w \\[2ex] -x, & x>TMin_w \\[2ex] \end{cases}} \qquad （2.15）\\[2ex] \blue {\tt {tips:}} \\[2ex] -_w^t x = ～x + 1 \\[2ex] \red {\tt { e.g.: }} \\[2ex] \vec x = [0101] \implies-_w^t x = ～\vec x + 1 = [1010] + 1 = -6 + 1 = -5 \\[2ex] \vec x = [0111] \implies-_w^t x = ～\vec x + 1 = [1000] + 1 = -8 + 1 = -7 \\[2ex] 特别的，当\vec x \cancel {=} 0,k \geq 0\Downarrow \\[2ex] \vec x = [x_{w-1},x_{w-2},...,x_{k+1},1,0,...,0]\Downarrow \\[2ex] -_w^t\vec x = [～x_{w-1},～x_{w-2},...,～x_{k+1},1,0,...,0]\Downarrow \\[2ex] \red {\tt { e.g.: }} \\[2ex] \vec x = [010 \green 1] \implies-_w^t x = [101 \green 1] = -5 \\[2ex] \vec x = [011 \green 1] \implies-_w^t x = [100 \green 1] = -7 \\[2ex]$

2.3.4 无符号乘法

原理：无符号乘法
$0 \leq x,\;y \leq UMax_w \Downarrow \\[2ex] x*_w^u y = (x\cdot y) \; mod \; 2^w\qquad （2.16）\\[2ex]$

2.3.5 补码乘法

原理：补码乘法
$TMin_w \leq x,\; y \leq TMax_w \Downarrow \\[2ex] x*_w^u y = U2T_w( (x\cdot y) \; mod \; 2^w ) \qquad （2.17）\\[2ex]$
原理：无符号和补码乘法的位级等价性
$令x=B2T_w(\vec x),\;y=B2T_w(\vec y) \\[2ex] x'=B2U_w(\vec x),\;y'=B2U_w(\vec y) \\[2ex] \implies T2B_w(x *_w^t y)=U2B_w(x *_w^t y) \\[2ex] \red{{\tt e.g.:}} \\[2ex]$
推导：无符号和补码乘法的位级等价性
$B2U_w(T2B_w(x))=T2U_w(x)=x+x_{w-1}2^w \qquad （2.6）\Downarrow \\[2ex] x' = x + x_{w-1}2^w,\; y' = y + y_{w-1}2^w \\[2ex] \implies (x' \cdot y') = [(x + x_{w-1}2^w) \cdot (y + y_{w-1}2^w)] \; mod \; 2^w \\[2ex] = [x \cdot y + ( x_{w-1}y + y_{w-1}x)2^w + x_{w-1}y_{w-1}2^{2w}] \; mod \; 2^w \\[2ex] = (x \cdot y) \; mod \; 2^w \qquad （2.18） \\[2ex] \implies T2U_w(x *_w^t y)=T2U_w(U2T_w(x \cdot y)\; mod \; 2^w) = (x \cdot y)\; mod \; 2^w \\[2ex] \implies U2B_w(T2U_w(x *_w^t y))=T2B_w(x *_w^t y)=U2B_w(x' *_w^t y') \\[2ex] \red{{\tt e.g.:}} \\[2ex] [101]*[011]=5*3=15=[001111]\implies[111]=7 \\[2ex] [101]*[011]=-3*3=-9=[110111]\implies[111]=-1 \\[2ex]$

2.3.6 乘以常数

推导：乘以2的幂
$B2U_{w+k}([x_{w-1},x_{w-2},...,x_0,\blue {0},...,\blue {0}]) = \sum_{i=0}^{w-1}x_i2^{i+k} \\[2ex] =[\sum_{i=0}^{w-1}x_i2^{i}] \cdot 2^k \\[2ex] =x2^k \\[2ex] \red {\tt {e.g.:}} \\[2ex] x_4 = [1011] = 11,x_{4+2}=x_4 << 2 = [101100] = 44$
原理：与2的幂相乘的无符号乘法
$0 \leq k < w \implies (x<<k) = x *_w^u 2^k \\[2ex]$
原理：与2的幂相乘的补码乘法
$0 \leq k < w \implies (x<<k) = x *_w^t 2^k \\[2ex]$
归纳：
$x*K \Downarrow \\[2ex] K \implies [...(0...0)(1_a...1_b)(0...0)(1_n...1_m)...] \\[2ex] n \geq m,\; b\geq a \\[2ex] type A:(x<<b)+(x<<(b-1))+...+(x<<a) +(x<<n)+(x<<(n-1))+...+(x<<m) \\[2ex] type B:(x<<(b+1)) - (x<<a) +(x<<(n+1)) - (x<<m) \\[2ex] \blue {\tt {tips:}} \\[2ex] a=2^{w-1} \implies x<<(a+1)=0 \\[2ex] \red {\tt {e.g.:}} \\[2ex] K = -5 = [1011] \implies 0-x-(x<<2) \\[2ex] K = 55 = [110111] \implies (x<<6)-(x<<2)-x \\[2ex] K = 6 = [0110] \implies (x<<2)+(x<<1) \\[2ex]$

2.3.7 除以2的幂

整数除法总是舍入到零。
$a \in {R},\; Interge \; a'=\lfloor a \rfloor \implies a' \leq a < a'+1 \\[2ex] Interge \; a'=\lceil a \rceil \implies a' - 1 \leq a < a' \\[2ex] \red {\tt {e.g.:}} \\[2ex] \lfloor 3.14 \rfloor= 3 ,\; \lfloor -3.14 \rfloor= -4 \\[2ex]$
原理：除以2的幂的无符号除法
$0 \leq k < w \Downarrow \\[2ex] x>>k = \lfloor x/2^k \rfloor \\[2ex]$
推导：除以2的幂的无符号除法
$x = [x_{w-1},x_{w-2},...,x_{0}] ,\; x' = x_{w-k} = [x_{w-1},x_{w-2},...,x_{k}] ,\; 0 \leq k <w \\[2ex] x'' = x_{k-1} = [x_{k-1},x_{k-2},...,x_{0}]\Downarrow \\[2ex] x = 2^k x' + x'' ,\; 0 \leq x'' < 2^k。\; \implies \lfloor x/2^k \rfloor = x' \\[2ex] \implies [x_{w-1},x_{w-2},...,x_{0}] >> k = [\blue {0},...,\blue {0},x_{w-1},x_{w-2},...,x_{k}] ,\; \\[2ex]$
原理：除以2的幂的补码除法
$0 \leq k < w \Downarrow \\[2ex] x>>k = \lfloor x/2^k \rfloor \\[2ex]$
推导：除以2的幂的补码除法，向下舍入
$x = [x_{w-1},x_{w-2},...,x_{0}] ,\; x' = x_{w-k} = [x_{w-1},x_{w-2},...,x_{k}] ,\; 0 \leq k <w \\[2ex] x'' = x_{k-1} = [x_{k-1},x_{k-2},...,x_{0}]\Downarrow \\[2ex] x = 2^k x' + x'' ,\; 0 \leq x'' < 2^k。\; \implies \lfloor x/2^k \rfloor = x' \\[2ex] \implies [x_{w-1},x_{w-2},...,x_{0}] >> k = [\blue {x_{w-1}},...,\blue {x_{w-1}},\blue {x_{w-1}},x_{w-2},...,x_{k}] ,\; \\[2ex] \red {\tt {e.g.:}} \\[2ex] [1100 1111 1100 1100] >> 4 = [\it 1111 \rm 1100 1111 1100] = \lfloor -771.25 \rfloor= -772$
原理：除以2的幂的补码除法，向上舍入
$0 \leq k < w \Downarrow \\[2ex] (x+(1 << k) - 1)>>k = \lfloor x/2^k \rfloor \\[2ex]$
推导：除以2的幂的补码除法，向上舍入
$\lceil x/y \rceil = \lfloor (x + y - 1)/y \rfloor ,\; 令x = qy + r,\; 0 \leq r < y \Downarrow \\[2ex] (x + y - 1) / y = q + ( r + y - 1) / y \\[2ex] \implies \lfloor (x + y - 1)/y \rfloor = q + \lfloor (r + y - 1) / y \rfloor = \begin{cases} q,& r = 0 \\[2ex] q + 1 ,& r > 0 \\[2ex] \end{cases} \\[2ex] C表达式:(x<0\; ? \; x+(1<<k)-1:x)>>k \\[2ex] \red {\tt {e.g.:}} \\[2ex] ([1100 1111 1100 1100] + (1<<4)-1) >> 4 = \\[2ex] [1100 1111 1101 1011] >> 4 = [\it 1111 \rm 1100 1111 1101] = \lfloor -771.25 \rfloor= -771$