Atcoder Regular Contest 089E - GraphXY题解

题意：给你一个未知的图，中间有一些边是定值，另一些边可能为X，也可能为Y，令\(d_{x,y}\)为当所有的\(X=x,Y=y\)时，从S到T的最短路径长度。给你所有的\(d_{x,y} (1 \le x,y \le 10)\)，请构造出这样的一个图，图中点数不得超过\(300\)，若无解，请输出"Impossible"（不含双引号），否则，请输出"Possible"（不含双引号），并在下一行输出节点个数与边数，接下来输出所有的边及边长（是一个常数或'X'或'Y'），最后输出S和T。
题解：令\(f[i][j]\)表示从S到T的路径上有i个x和j个y时其余边的最小可能长度，若我们已知\(f[i][j]\)，则可以推出\(d[x][y]=min\{f[i][j]+i*x+j*y\}\)，那么对该式进行移项，得出\(f[i][j]=max\{d[x][y]-i*x-j*y\}\)，但该\(f[i][j]\)不一定符合条件，重新判断，若不符合则该情况一定无解，否则一定可以构造出一解。
考虑如何构造：连两条长度为100的链（显然，长度更长毫无意义），一条链所有边权为X，另一条链所有边权为Y，那么对于每一个\(f[i][j]\)，可以在X链上的第\(i\)个节点和Y链上的倒数第\(j\)个节点间连一条长度为\(f[i][j]\)的边。即可构造方案。
code:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define Maxn 300
#define Maxk 10
#define Inf 0x3f3f3f3f
int f[Maxn+5][Maxn+5];
int d[Maxk+5][Maxk+5];
//f[i][j]表示从S到T的路径上有i个x和j个y时其余边的最小可能长度 
//d[x][y]=min{f[i][j]+i*x+j*y}
//f[i][j]=max{d[x][y]-i*x-j*y}
int mx(int a,int b){
    return a>b?a:b;
}
int mn(int a,int b){
    return a<b?a:b;
}
struct Edge{
    int u,v,w;
}edge[Maxn*Maxn+5];
int n,m;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&d[i][j]);
        }
    }
    for(int i=0;i<=100;i++){
        for(int j=0;j<=100;j++){
            for(int x=1;x<=n;x++){
                for(int y=1;y<=m;y++){
                    f[i][j]=mx(f[i][j],d[x][y]-i*x-j*y);
                }
            }
        }
    }
    int now;
    for(int x=1;x<=n;x++){
        for(int y=1;y<=m;y++){
            now=Inf;
            for(int i=0;i<=100;i++){
                for(int j=0;j<=100;j++){
                    now=mn(now,f[i][j]+i*x+j*y);
                }
            }
            if(now!=d[x][y]){
                puts("Impossible");
                return 0;
            }
        }
    }
    puts("Possible");
    puts("202 10401");
    for(int i=1;i<=100;i++){
        printf("%d %d X\n",i,i+1);
    }
    for(int i=102;i<202;i++){
        printf("%d %d Y\n",i,i+1);
    }
    for(int i=0;i<=100;i++){
        for(int j=0;j<=100;j++){
            printf("%d %d %d\n",i+1,202-j,f[i][j]);
        }
    }
    puts("1 202");
    return 0;
}