[CSP校内集训]tree（期望DP）

题意

给一颗树，从1节点出发，走每条边的概率相同且耗时为1，求每个点第一次被遍历到的期望时间（\(t_1=1\)）

思路

在树上只有两种移动方式：从儿子到父亲，从父亲到儿子

假设从\(rt\)走到\(v\)的期望代价为\(dow_i\)，从\(i\)走到\(rt\)的期望代价为\(val_i\)

假设从\(rt\)转移到\(v\)，\(rt\)的度数为\(k\)，\(rt\)的父亲为\(fa\)，则：

\[dow_v = \frac{1}{k} + \sum_{son}^{son\neq v} { \frac{1}{k}\times (1+val_{son}+dow_v)} + \frac{1}{k}\times (1+dow_{fa}+dow_v)\]

意思是：要么从\(rt\)到\(v\)一步到位，要么有\(\frac{1}{k}\)的概率走其他点再走回来重新计算期望

化简得：

\[ dow_v = k + \sum_{son}^{son\neq v} {val_{son} + dow_{fa}}\]

这里还有个\(val\)不知道，所以要先计算它：

\[val_{rt} = \sum_{son} {\frac{1}{k} + \frac{1}{k} \times (1+val_{son}+val_{rt})}\]

意思是：要么从\(v\)到\(rt\)一步到位，要么走一步到儿子走回来在重新计算期望

化简得：

\[val_{rt} = k + \sum_{son} {val_{son}}\]

一遍\(dfs\)自底向上求\(val\)，再一遍\(dfs\)从上到下求\(dow\)，一个点的答案即为\(dow\)的前缀和

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100005
#define Min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define Max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
int n,rd[N],ok=1;
double val[N],dow[N],f[N];

struct Edge
{
    int next,to;
}edge[N<<1];int head[N],cnt=1;
void add_edge(int from,int to)
{
    edge[++cnt].next=head[from];
    edge[cnt].to=to;
    head[from]=cnt;
}

template <class T>
void read(T &x)
{
    char c; int sign=1;
    while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-') sign=-1; x=c-48;
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+c-48; x*=sign;
}
void dfs1(int rt,int fa)
{
    val[rt]=rd[rt];
    for(int i=head[rt];i;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(v==fa) continue;
        dfs1(v,rt);
        val[rt]+=val[v];
    }
}
void dfs(int rt,int fa)
{
    double sumval=0;
    for(int i=head[rt];i;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(v==fa) continue;
        sumval+=val[v];
    }
    for(int i=head[rt];i;i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(v==fa) continue;
        f[v]=f[rt]+rd[rt]+dow[rt]+sumval-val[v];
        dow[v]=f[v]-f[rt];
        dfs(v,rt);
    }
}
void solve()
{
    dfs1(1,0);
    f[1]=1.0; dow[1]=0;
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=n;++i) printf("%.3lf\n",f[i]);
}
int main()
{
    freopen("tree.in","r",stdin);
    freopen("tree.out","w",stdout);
    read(n);
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        int x,y;
        read(x);read(y);
        add_edge(x,y);
        add_edge(y,x);
        ++rd[x];++rd[y];
    }
    solve();
    return 0;
}