1，概念
以下词条解释来自百度百科：代数，代数系统，线性代数，矩阵
代数
代数是研究数、数量、关系、结构与代数方程（组）的通用解法及其性质的数学分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。
代数系统
非空集合A和A上k个一元或二元运算f1，f2，…，fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作(A，f1，f2，…，fk)。由定义可知，一个代数系统需要满足下面3个条件：(1)有一个非空集合A；(2)有一些建立在集合A上的运算；(3)这些运算在集合A上是封闭的。有的书上对代数系统定义时不要求运算的封闭性，而是把具有封闭性的代数系统定义为一个新的概念-广群。
线性代数
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
矩阵
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 [1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
2，矩阵的基本运算
矩阵类
矩阵的信息有行数列数和矩阵的内容
struct matrix{ int n,m; long long a[N][M]; matrix(){// 初始化2*2的单位矩阵 n=m=2; for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<m;j++){ a[i][j]=0; } } for(int i=0;i<n;i++){ a[i][i]=1; } } void clear(){ //memset(a,0,sizeof(a)); for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<m;j++){ a[i][j]=0; } } } }
加和减
矩阵的加减运算要抱枕两个矩阵的行数和列数相同
matrix operator+(const matrix &b)const{ matrix tmp; tmp.clear(); for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<m;j++){ tmp.a[i][j]=a[i][j]+b.a[i][j]; } } return tmp; }
乘法
设矩阵乘法的到的结果是矩阵S，则矩阵S的第i行第j个元素是被乘数的第i行元素乘以乘数的第j列元素的求和得到的，也就是说被乘数的列数和乘数的行数相等
matrix operator*(const matrix &b)const{ matrix tmp; tmp.clear(); for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<b.m;j++){ for(int k=0;k<m;k++){ tmp.a[i][j]=((a[i][k]*b.a[k][j])%mod+tmp.a[i][j])%mod; } } } return tmp; }
因为乘法对矩阵有要求，所以矩阵乘法并不满足交换律，只满足结合律
除法
矩阵并没有除法运算，但是可以求逆，类似在初等数学中数的乘法逆元是他的倒数。矩阵的逆也满足这样的条件，1.矩阵S的逆的逆是矩阵S本身，2.除以矩阵S等于乘以矩阵S的逆
矩阵求逆代码：
vector<double> operator * (vector<double> a,double b){ int n=a.size(); vector<double> res(n,0); for(int i=0;i<n;i++){ res[i]=a[i]*b; } return res; } vector<double> operator - (vector<double> a,vector<double> b){ int n=a.size(); vector<double> res(n,0); for(int i=0;i<n;i++){ res[i]=a[i]-b[i]; } return res; } void get_ni(vector<double>a[],vector<double>b[],int n){//b为初等变换所需要的单位矩阵 for(int i=0;i<n;i++){ b[i]=vector<double>(n,0); } for(int i=0;i<n;i++){//初始化单位矩阵 b[i][i]=1; } for(int i=0;i<n;i++){//初等变换 for(int j=i;j<n;j++){ if(fabs(a[j][i])>0){ swap(a[i],a[j]); swap(b[i],b[j]); break; } } b[i]=b[i]*(1.0/a[i][i]); a[i]=a[i]*(1.0/a[i][i]); for(int j=0;j<n;j++){ if(j!=i&&fabs(a[j][i]>0)){ b[j]=b[j]-b[i]*a[j][i]; a[j]=a[j]-a[i]*a[j][i]; } }i } }
3.高斯消元
4.常系数线性齐次递推
在求解斐波那契数列问题中，如果使用记忆化的技巧，在线性时间内就可以求解第n项斐波那契数是多少。
在矩阵中这个问题如何解决？？
如果可以构造如图所示的矩阵，那么连续给矩阵乘以n个这样的矩阵就可以得到fn。
又因为矩阵满足结合律，所以可以用快速幂的方式，除去矩阵乘法的时间复杂度，O（logn）就可以得到斐波那契数列的第n项。
对于常系数线性齐次递推得到如下结论：
代码：
const int N=10,M=10; long long a[10]; long long f[10]; struct matrix{ int n,m; long long a[N][M]; matrix(){// 初始化2*2的单位矩阵 n=m=2; for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<m;j++){ a[i][j]=0; } } for(int i=0;i<n;i++){ a[i][i]=1; } } void clear(){ //memset(a,0,sizeof(a)); for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<m;j++){ a[i][j]=0; } } } matrix operator+(const matrix &b)const{ matrix tmp; tmp.clear(); for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<m;j++){ tmp.a[i][j]=a[i][j]+b.a[i][j]; } } return tmp; } matrix operator*(const matrix &b)const{ matrix tmp; tmp.clear(); for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<b.m;j++){ for(int k=0;k<m;k++){ tmp.a[i][j]=((a[i][k]*b.a[k][j])+tmp.a[i][j]); } } } return tmp; } }; matrix pow2(matrix A,int n){ matrix B; while(n>0){ if(n&1)B=B*A; A=A*A; n/=2; } return B; } long long solve(long long a[],long long f[],int n,int m){ matrix A,B; A.clear(); B.clear(); A.n=B.n=n; A.m=n; B.m=1; for(int i=0;i<n-1;i++){ A.a[i+1][i]=1; } for(int i=0;i<n;i++){ B.a[i][0]=f[n-i-1]; A.a[0][i]=a[n-i-1]; } A=pow2(A,m); B=A*B; return B.a[n-1][0]; } int main(){//求斐波那契数列第m项 a[0]=1,a[1]=1; //系数 f[0]=0,f[1]=1; //前n项 int m; scanf("%d",&m); printf("%lld\n",solve(a,f,2,m)); return 0; }
一点心得：（走在路上啃馒头想到的（滑稽）
如果我们的递推式不仅仅是fn=an-1*fn-1+an-2*fn-2+………+a0*f0；这样简单的格式.而是fn=an-1*fn-1+an-2*fn-2+………+a0*f0+c；c是一个常数。那么可以构造如下的矩阵解决一个问题。
构造矩阵的方法或许没有多么巧妙，我却收获颇多。
1.矩阵乘法本身其实就在阐述一定的递推关系。
2.如果遇到下图所示矩阵，可分解为两个矩阵。
3.如果可以构造出f（n）=n的矩阵，则可以轻易得出fn=an-1*fn-1+an-2*fn-2+………+a0*f0+n的矩阵递推式
同理如果可以构造f（n）=an的矩阵，就可以轻易得出fn=an-1*fn-1+an-2*fn-2+………+a0*f0+an的矩阵递推式
结论：构造出的任意矩阵可以嵌套出一个新的递推式。