题目描述
从前有个括号序列$s$，满足$|s|=m$。你需要统计括号序列对$(p,q)$的数量。
其中$(p,q)$满足$|p|+|s|+|q|=n$，且$p+s+q$是一个合法的括号序列。
输入格式
从文件$bracket.in$中读入数据。第一行两个正整数$n,m$。
第二行一个长度为$m$的括号序列，表示$s$。
输出格式
输出到文件$bracket.out$中。
输出一行一个整数，表示符合条件的$(p,q)$的数量对$10^9+7$取模的值。
样例
样例输入1：
4 1 (
样例输出1：
4
样例输入2：
4 4 (())
样例输出2：
1
样例输入3：
4 3 (((
样例输出3：
0
数据范围与提示
对于$10\%$的数据，$n\leqslant 20$；
对于$25\%$的数据，$n\leqslant 200$；
对于另外$5\%$的数据，$n=m$；
对于$55\%$的数据，$n−m\leqslant 200$；
对于$100\%$的数据，$1\leqslant m\leqslant n\leqslant 10^5,n−m\leqslant 2,000$。
题解
首先，不妨设左括号为$+1$，右括号为$-1$，那么要满足最后和为$0$，且所有前缀不小于$0$。
对于原串处理时的最小前缀如果小于$0$，则必须在原串前加左括号使之合法。
考虑$DP$，设$dp[i][j]$表示长度为$i$，总和为$j$的括号序列数量，那么$p$的方案数为$dp[i][j]$，$q$的方案数为$dp[n-m-i][j-a]$（$a$为原串的总和）。
将其乘积相加即为答案。
时间复杂度：$\Theta((n-m)^2)$。
期望得分：$100$分。
实际得分：$100$分。
代码时刻
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int n,m;
char ch[100001];
int res,minn;
long long dp[2001][2001],ans;
int main()
{
scanf("%d%d%s",&n,&m,ch+1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(ch[i]=='(')res++;
else res--;
minn=min(minn,res);
}
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n-m;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j+1];
if(j)dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j-1])%mod;
}
for(int i=0;i<=n-m;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
if(j+res<=n-m&&j+minn>=0)
ans=(ans+dp[i][j]*dp[n-m-i][res+j]%mod)%mod;
printf("%lld",ans);
return 0;
}
rp++