[NOIP2016]天天爱跑步-题解

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解答

设第\(j\)号玩家在\(V_j\)时刻出发。

弱化问题：如果树退化成了一条链。则在\(j\)处的观察员能观察到的\(i\)号玩家当且仅当
\[ i玩家经过j，且 \begin{cases} dep_j - W_j = dep_{S_i} - V_j, &i向下跑步 \\ dep_j + W_j = dep_{S_i} + V_j, &i向上跑步 \end{cases} \]
一个点在树上的贡献是连续的，可以考虑把路径在LCA处（倍增找LCA）拆成两条链用离线+树上差分统计人经过每个点的时刻。

树上差分

如何只让一段树上的链被更新呢？（类比左闭右开区间，考虑下端为“闭”节点，上端为“开”节点的链）

考虑树上的一个点，只有链的一端在它的子树内部时才被链覆盖。
所以在dfs子树之前记下答案，在dfs之后更新链端点，真的答案就是答案的差。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mx = 3e5+10, LOG = 20, inf = 1e9;

int n, m, ans[mx], s[mx], t[mx], w[mx];
int head[mx], nxt[mx<<1], to[mx<<1], tot;
int dep[mx] = {-1}, fa[mx][LOG];
int down[mx<<2], up[mx<<1];
vector<pair<int, int> > v[mx];

void add(int u, int v) {
    ++tot;
    nxt[tot] = head[u];
    to[tot] = v;
    head[u] = tot;
}

void dfs0(int u) {
    for (int i = 1; i < LOG; ++i) {
        fa[u][i] = fa[fa[u][i-1]][i-1];
    }
    for (int e = head[u], v; e; e = nxt[e]) {
        if ((v=to[e]) == fa[u][0]) continue;
        fa[v][0] = u;
        dep[v] = dep[u]+1;
        dfs0(v);
    }
}

int lca(int u, int v) {
    if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
    for (int i = LOG-1; ~i; --i)
        if (dep[fa[u][i]] >= dep[v])
            u = fa[u][i];
    if (u == v) return u;
    for (int i = LOG-1; ~i; --i)
        if (fa[u][i] != fa[v][i])
            u = fa[u][i], v = fa[v][i];
    return fa[u][0];
}

#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second

void addr(int s, int t, int w=0) {
    assert(dep[s] != dep[t]);
    if (dep[s] < dep[t]) w += inf, swap(s, t);
    v[s].pb(mp(w, 1));
    v[t].pb(mp(w, -1));
}

void dfs(int u) {
    ans[u] -= up[dep[u]+w[u]] + down[(mx<<1) + dep[u]-w[u]];
    for (int e = head[u]; e; e = nxt[e]) {
        if (to[e] == fa[u][0]) continue;
        dfs(to[e]);
    }
    for (int i = 0; i < (int)v[u].size(); ++i) {
        if (v[u][i].fi > inf/2) down[(mx<<1) + v[u][i].fi-inf] += v[u][i].se;
        else up[v[u][i].fi] += v[u][i].se;
    }
    ans[u] += up[dep[u]+w[u]] + down[(mx<<1) + dep[u]-w[u]];
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int u, v;
    for (int i = 0; i < n-1; ++i) {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        add(u, v), add(v, u);
    }
    dfs0(1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", w+i);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        scanf("%d%d", s+i, t+i);
        u = lca(s[i], t[i]);
        if (u == s[i]) addr(fa[s[i]][0], t[i], dep[s[i]]);
        else if (u == t[i]) addr(s[i], fa[t[i]][0], dep[s[i]]);
        else {
            addr(s[i], fa[u][0], dep[s[i]]);
            addr(u, t[i], dep[u] - (dep[s[i]]-dep[u]));
        }
    }
    dfs(1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d%c", ans[i], " \n"[i==n]);
}