【图论】【LCA】NOIP2016 天天爱跑步

分析：

诶。。再次觉得两年前的自己是个智障。。这题虽然号称全场最难。。但其实 $O(nlogn)$ 算法还是挺好想的（而且可以使用tarjan算法优化lca，使得复杂度优化为 $O(n)$ ）

无非就是LCA随便搞搞。。。对于每个跑步的人，把它拆分为2个，一个从u出发，只往上跑，时间递增，跑到 $lca(u,v)$ 为止。一个从v出发，只往上跑，时间递减（出发时间为dist(u,v)），也跑到 $lca(u,v)$ 为止。

然后对于一个观察员，如果它能观察到一个时间递增的人，那么：
$w_i=deep_{pos_j}-deep_i+st_j$ （j表示一个跑步者， $st_j$ 表示它的起始时间， $deep_{pos_j}$ 表示j的起始位置。 $pos_j$ 在i的子树中）
移一下项，变成
$w_i+deep_i=st_j+deep_{pos_j}$ 。
所以可以存储：每个时间递增跑步者的起始位置的时间+它起始位置的深度。

如果它能观察到一个时间递减的人，那么：
$w_i=deep_i-deep_{pos_j}+st_j$
再移一下项，变为：
$w_i-deep_i=st_j-deep_{pos_j}$
所以可以存储：每个时间递减跑步者的起始位置的时间-它起始位置的深度。

然后特殊处理一下刚好在lca位置的观察员。。。就可以过了。。。
这是 $O(nlogn)$ 的算法，考场上加了一堆优化防卡常，效率还算不错

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 300010
using namespace std;
void Read(int &x){
    x=0;
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF&&(c<'0'||c>'9'));
    x=c-'0';
    while(c=getchar(),c!=EOF&&c>='0'&&c<='9')
        x=x*10+c-'0';   
}
struct node{
    int x;
    node *nxt;  
}edge[MAXN*2];
node * head[MAXN],* ncnt=edge;
vector<int> add1[MAXN],add2[MAXN],del1[MAXN],del2[MAXN];
int w[MAXN],ans[MAXN];
int n,m;
void add_edge(int x,int y){
    ncnt++;
    ncnt->x=y;
    ncnt->nxt=head[x];
    head[x]=ncnt;
}
int dep[MAXN],fa[MAXN][20];
void dfs(int x,int f){
    fa[x][0]=f;
    for(int i=1;i<19&&fa[x][i-1];i++)
        fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    dep[x]=dep[f]+1;
    for(node *v=head[x];v!=NULL;v=v->nxt){
        int u=v->x;
        if(u==f)
            continue;
        dfs(u,x);   
    }
}
int lca(int u,int v){
    if(dep[u]<dep[v])
        swap(u,v);
    for(int i=18;i>=0;i--)
        if(dep[fa[u][i]]>=dep[v])
            u=fa[u][i];
    if(u==v)
        return u;
    for(int i=18;i>=0;i--)
        if(fa[u][i]!=fa[v][i]){
            u=fa[u][i];
            v=fa[v][i];
        }
    return fa[u][0];
}
int cnt1[MAXN*2],cnt2[MAXN*2];
void solve(int x,int f){
    int val1=cnt1[w[x]+dep[x]];
    int val2=cnt2[w[x]-dep[x]+n];
    for(node *v=head[x];v!=NULL;v=v->nxt){
        int u=v->x;
        if(u==f)
            continue;
        solve(u,x); 
    }
    for(int i=0;i<add1[x].size();i++)
        cnt1[add1[x][i]]++;
    for(int i=0;i<add2[x].size();i++)
        cnt2[add2[x][i]]++;
    for(int i=0;i<del1[x].size();i++)
        cnt1[del1[x][i]]--;
    for(int i=0;i<del2[x].size();i++)
        cnt2[del2[x][i]]--;
    int valx1=cnt1[w[x]+dep[x]];
    int valx2=cnt2[w[x]-dep[x]+n];
    ans[x]+=valx1-val1+valx2-val2;
}
int main(){
    Read(n),Read(m);
    int u,v,val;
    for(int i=1;i<n;i++){
        Read(u),Read(v);
        add_edge(u,v);
        add_edge(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        Read(w[i]);
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        Read(u),Read(v);
        int l=lca(u,v);
        int len=dep[u]+dep[v]-2*dep[l];
        add1[u].push_back(dep[u]);
        add2[v].push_back(len-dep[v]+n);
        del1[l].push_back(dep[u]);
        del2[l].push_back(len-dep[v]+n);
        if(w[l]==dep[u]-dep[l])
            ans[l]++;
    }
    solve(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        PF("%d ",ans[i]);
}

这是 $O(n)$ 的代码
可能写得有点丑，导致实际运行时差距并不大

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 300010
using namespace std;
void Read(int &x){
    x=0;
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF&&(c<'0'||c>'9'));
    x=c-'0';
    while(c=getchar(),c!=EOF&&c>='0'&&c<='9')
        x=x*10+c-'0';   
}
struct node{
    int x;
    node *nxt;  
}edge[MAXN*2];
struct rns{
    int u,v,lca;
}p[MAXN];
node * head[MAXN],* ncnt=edge;
vector<int> add1[MAXN],add2[MAXN],del1[MAXN],del2[MAXN];
vector<pair<int,int> > que[MAXN];
int w[MAXN],ans[MAXN];
int n,m;
void add_edge(int x,int y){
    ncnt++;
    ncnt->x=y;
    ncnt->nxt=head[x];
    head[x]=ncnt;
}
int dep[MAXN],fa[MAXN];
int cnt1[MAXN*2],cnt2[MAXN*2];
void solve(int x,int f){
    int val1=cnt1[w[x]+dep[x]];
    int val2=cnt2[w[x]-dep[x]+n];
    for(node *v=head[x];v!=NULL;v=v->nxt){
        int u=v->x;
        if(u==f)
            continue;
        solve(u,x); 
    }
    for(int i=0;i<add1[x].size();i++)
        cnt1[add1[x][i]]++;
    for(int i=0;i<add2[x].size();i++)
        cnt2[add2[x][i]]++;
    for(int i=0;i<del1[x].size();i++)
        cnt1[del1[x][i]]--;
    for(int i=0;i<del2[x].size();i++)
        cnt2[del2[x][i]]--;
    int valx1=cnt1[w[x]+dep[x]];
    int valx2=cnt2[w[x]-dep[x]+n];
    ans[x]+=valx1-val1+valx2-val2;
}
bool vis[MAXN];
int get_fa(int x){
    if(fa[x]==0)
        return x;
    fa[x]=get_fa(fa[x]);
    return fa[x];
}
void dfs(int x,int f){
    vis[x]=1;
    for(int i=0;i<que[x].size();i++){
        int u=que[x][i].first;
        int id=que[x][i].second;
        if(vis[u]==1)
            p[id].lca=get_fa(u);
    }
    for(node *v=head[x];v!=NULL;v=v->nxt){
        int u=v->x;
        if(u==f)
            continue;
        dep[u]=dep[x]+1;
        dfs(u,x);
        fa[u]=x;
    }
}
int main(){
    Read(n),Read(m);
    int u,v,val;
    for(int i=1;i<n;i++){
        Read(u),Read(v);
        add_edge(u,v);
        add_edge(v,u);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        Read(w[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        Read(p[i].u),Read(p[i].v);
        que[p[i].u].push_back(make_pair(p[i].v,i));
        que[p[i].v].push_back(make_pair(p[i].u,i));
    }
    dfs(1,0);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        u=p[i].u;
        v=p[i].v;
        int l=p[i].lca;
        int len=dep[u]+dep[v]-2*dep[l];
        add1[u].push_back(dep[u]);
        add2[v].push_back(len-dep[v]+n);
        del1[l].push_back(dep[u]);
        del2[l].push_back(len-dep[v]+n);
        if(w[l]==dep[u]-dep[l])
            ans[l]++;
    }
    solve(1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        PF("%d",ans[i]);
        if(i!=n)
            PF(" ");
    }
}

【图论】【LCA】NOIP2016 天天爱跑步

分析：

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