noip2007 矩阵游戏

题面

题目描述
帅帅经常更同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的
n∗m
n∗m
的矩阵，矩阵中的每个元素a[i][j]据为非负整数。游戏规则如下：
　　1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有的元素；
　　2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
　　3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和；每行取数的得分 = 被取走的元素值*2^i，其中i表示第i次取数（从1开始编号）；
游戏结束总得分为m次取数得分之和。
　　帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。
输入格式
包括n+1行；
第一行为两个用空格隔开的整数n和m。
第2~n+1行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开
输出格式
仅包含1行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大的分。

题解

区间dp水题。
每一行做一次区间dp。
然后注意取数的权值处理问题，也就是当前数是第几个取。
最小的区间f[j][j]是最后取得，权值是$2^m$。
状态：

$$f[H][i][j]代表第H行区间[i,j]的最大收益$$
对于一个区间[i,j]，最先取的数可能是a[i]或者a[j]。
所以状态转移方程是: $$f[H][i][j]=max(f[H][i][j-1]+a[j]*2^{m-len+1},f[H][i+1][j]+a[i]*2^{m-len+1})$$

这里有一个骚操作——__int128 请自行百度

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef __int128 ll;
inline ll read(){
    ll num = 0;
    char c = ' ';
    bool flag = true;
    for(;c > '9' || c < '0';c = getchar())
    if(c == '-')
    flag = false;
    for(;c >= '0' && c <= '9';num = num*10+c-48,c=getchar());
    return flag ? num : -num;
}
void print(ll a){
    if(a>9)print(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
const ll maxn=90;
ll f[maxn][maxn][maxn];
ll n,m,a[maxn][maxn];
ll qpow[maxn];//存放2的幂。
void init(){
    n=read();m=read();
    qpow[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        qpow[i]=qpow[i-1]*2;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            a[i][j]=read();
            f[i][j][j]=a[i][j]*qpow[m];
        }
}
void DP(){
    for(int H=1;H<=n;H++){
        for(int len=2;len<=m;len++)
            for(int i=1;i+len-1<=m;i++){
                int j=i+len-1;
                f[H][i][j]=max(f[H][i][j],f[H][i+1][j]+a[H][i]*qpow[m-len+1]);
                f[H][i][j]=max(f[H][i][j],f[H][i][j-1]+a[H][j]*qpow[m-len+1]);
            }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=ans+f[i][1][m];
    print(ans);
}
int main(){
    init();
    DP();
    return 0;
}