Problem
Check if a positive integer $n$ can be written as sum of a positive integer and reverse of that integer.
Here, reverse of a positive integer is defined as the integer obtained by reversing the decimal representation of that integer.
For example, 121 = 92 + 29.
Analysis
若 $x = y + r(y)$，其中 $r(y) := \text{reverse of $y$}$，则可以确定 $y$ 是几位数。
若 $x$ 的最高位上的数字大于 $1$，则 $y$ 与 $x$ 位数相同。
若 $x$ 的最高位上的数字等于 $1$，则 $x$ 的最高位可能是 $ y + r(y)$ 进位导致的，于是有两种可能
- $y$ 与 $x$ 位数相同
- $y$ 比 $x$ 少一位
此时，我们可以分别讨论这两种情况。确定了 $y$ 的位数，进一步可以确定符合条件的 $y$ 是否存在。我们只需要判断，在不进位的情况下，$x$ 是否是回文串，特别的，当 $y$ 的长度是奇数时，中间的那一位上必须是偶数。
Implementation
// x = y + reverse(y)
// y 有 d.size() 位
bool check(vector<int> d) {
for (int i = 0, j = (int)d.size() - 1; i < j; ++i, --j) {
// case 1: d[i] == d[j]
// case 2: d[i] == d[j] + 10
// case 2: d[i] - 1 == d[j]
// case 3: d[i] - 1 == d[j] + 10
if (d[i] == d[j]) continue;
if (d[i] == d[j] + 10) d[j - 1] -= 1;
else if (d[i] - 1 == d[j]) {
d[i + 1] += 10;
}
else if (d[i] - 1 == d[j] + 10) {
d[i + 1] += 10;
d[j - 1] -= 1;
}
else {
return false;
}
}
if (d.size() & 1) {
int t = d[d.size() / 2];
return t % 2 == 0 && t >= 0 && t <= 18;
}
return true;
}
bool solve(const char* s) {
vector<int> d;
for (int i = 0; s[i]; ++i) {
d.push_back(s[i] - '0');
}
bool res = check(d);
if (d.front() == 1 && d.size() > 1) {
d[1] += 10;
d.erase(d.begin());
res |= check(d);
}
return res;
}