作者：logosG
链接：https://www.cnblogs.com/logosG/p/logos.html （讲解的KM算法，特别厉害！！！）
KM算法：
现在我们来考虑另外一个问题：如果每个员工做每件工作的效率各不相同，我们如何得到一个最优匹配使得整个公司的工作效率最大呢？
这种问题被称为带权二分图的最优匹配问题，可由KM算法解决。
比如上图，A做工作a的效率为3，做工作c的效率为4......以此类推。
不了解KM算法的人如何解决这个问题？我们只需要用匈牙利算法找到所有的最大匹配，比较每个最大匹配的权重，再选出最大权重的最优匹配即可。这不失为一个解决方案，但是，如果公司员工的数量越来越多，此种算法的实行难度也就越来越大，我们必须另辟蹊径：KM算法。
KM算法解决此题的步骤如下所示：
1.首先对每个顶点赋值，将左边的顶点赋值为最大权重，右边的顶点赋值为0。
如图，我们将顶点A赋值为其两边中较大的4。
2.进行匹配，我们匹配的原则是：只与权重相同的边匹配，若是找不到边匹配，对此条路径的所有左边顶点-1，右边顶点+1，再进行匹配，若还是匹配不到，重复+1和-1操作。（这里看不懂可以跳过，直接看下面的操作，之后再回头来看这里。）
对A进行匹配，符合匹配条件的边只有Ac边。
匹配成功！
接下来我们对B进行匹配，顶点B值为3，Bc边权重为3，匹配成~ 等等，A已经匹配c了，发生了冲突，怎么办？我们这时候第一时间应该想到的是，让B换个工作，但根据匹配原则，只有Bc边 3+0=0 满足要求，于是B不能换边了，那A能不能换边呢？对A来说，也是只有Ac边满足4+0=4的要求，于是A也不能换边，走投无路了，怎么办？
从常识的角度思考：其实我们寻找最优匹配的过程，也就是帮每个员工找到他们工作效率最高的工作，但是，有些工作会冲突，比如现在，B员工和A员工工作c的效率都是最高，这时我们应该让A或者B换一份工作，但是这时候换工作的话我们只能换到降低总体效率值的工作，也就是说，如果令R=左边顶点所有值相加，若发生了冲突，则最终工作效率一定小于R，但是，我们现在只要求最优匹配，所以，如果A换一份工作降低的工作效率比较少的话，我们是能接受的（对B同样如此）。
在KM算法中如何体现呢？
现在参与到这个冲突的顶点是A,B和c，令所有左边顶点值-1，右边顶点值+1，即 A-1,B-1. c+1，结果如下图所示。
我们进行了上述操作后会发现，若是左边有n个顶点参与运算，则右边就有n-1个顶点参与运算，整体效率值下降了1*（n-（n-1））=1，而对于A来说，Ac本来为可匹配的边，现在仍为可匹配边（3+1=4），对于B来说，Bc本来为可匹配的边，现在仍为可匹配的边（2+1=3），我们通过上述操作，为A增加了一条可匹配的边Aa，为B增加了一条可匹配的边Ba。
现在我们再来匹配，对B来说，Ba边 2+0=2，满足条件，所以B换边，a现在为未匹配状态，Ba匹配！
我们现在匹配最后一条边C，Cc 5+1！=5，C边无边能匹配，所以C-1。
现在Cc边 4+1=5，可以匹配，但是c已匹配了，发生冲突，C此时不能换边，于是便去找A，对于A来说，Aa此时也为可匹配边，但是a已匹配，A又去找B。
B现在无边可以匹配了，2+0！=1 ，现在的路径是C→c→A→a→B，所以A-1,B-1,C-1,a+1，c+1。如下图所示。
对于B来说，现在Bb 1+0=1 可匹配！
使用匈牙利算法，对此条路径上的边取反。
如图，便完成了此题的最优匹配。
读者可以发现，这题中冲突一共发生了3次，所以我们一共降低了3次效率值，但是我们每次降低的效率值都是最少的，所以我们完成的仍然是最优匹配！
这就是KM算法的整个过程，整体思路就是：每次都帮一个顶点匹配最大权重边，利用匈牙利算法完成最大匹配，最终我们完成的就是最优匹配！
下面便根据HDU 2255 奔小康赚大钱 给出KM代码：
题意：
n间房子，n个人。每一个人对每一间房子有自己的估价，他们会按照自己的估价买房子。现在你需要将每一间房子分给每一个人，这些人会按照自己的估价给你钱。你需要让最后得到的总钱数最大
题解：
很显然就是一道最大权匹配
代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<algorithm> 3 #include<string.h> 4 #include<iostream> 5 #include<queue> 6 #include<vector> 7 using namespace std; 8 const int maxn=510; 9 const int INF=0x3f3f3f3f; 10 int n; 11 int w[maxn][maxn],link[maxn],matchx[maxn],matchy[maxn]; 12 int visitx[maxn],visity[maxn]; 13 int sum[maxn]; 14 int dfs(int x) 15 { 16 visitx[x]=1; 17 for(int i=1;i<=n;++i) 18 { 19 if(visity[i]) continue; 20 int temp=matchx[x]+matchy[i]-w[x][i]; 21 if(!temp) 22 { 23 visity[i]=1; 24 if(link[i]==-1 || dfs(link[i])) 25 { 26 link[i]=x; 27 return 1; 28 } 29 } 30 else if(sum[i]>temp) 31 sum[i]=temp; 32 } 33 return 0; 34 } 35 int km() 36 { 37 memset(link,-1,sizeof(link)); 38 memset(matchy,0,sizeof(matchy)); 39 for(int i=1;i<=n;++i) 40 { 41 matchx[i]=-INF; 42 for(int j=1;j<=n;++j) 43 { 44 if(w[i][j]>matchx[i]) 45 matchx[i]=w[i][j]; 46 } 47 } 48 for(int x=1;x<=n;++x) 49 { 50 for(int i=1;i<=n;++i) 51 { 52 sum[i]=INF; 53 } 54 while(1) 55 { 56 memset(visitx,0,sizeof(visitx)); 57 memset(visity,0,sizeof(visity)); 58 if(dfs(x)) break; 59 int d=INF; 60 for(int i=1;i<=n;++i) 61 { 62 if(!visity[i] && d>sum[i]) 63 d=sum[i]; 64 } 65 for(int i=1;i<=n;++i) 66 { 67 if(visitx[i]) 68 matchx[i]-=d; 69 } 70 for(int i=1;i<=n;++i) 71 { 72 if(visity[i]) matchy[i]+=d; 73 else sum[i]-=d; 74 } 75 } 76 } 77 int ans=0; 78 for(int i=1;i<=n;++i) 79 { 80 if(link[i]!=-1) 81 ans+=w[link[i]][i]; 82 } 83 return ans; 84 } 85 int main() 86 { 87 while(~scanf("%d",&n)) 88 { 89 for(int i=1;i<=n;++i) 90 { 91 for(int j=1;j<=n;++j) 92 { 93 scanf("%d",&w[i][j]); 94 } 95 } 96 printf("%d\n",km()); 97 } 98 return 0; 99 }
带注释的代码：
1 #include <iostream> 2 3 #include <cstring> 4 5 #include <cstdio> 6 7 8 9 using namespace std; 10 11 const int MAXN = 305; 12 13 const int INF = 0x3f3f3f3f; 14 15 16 17 int love[MAXN][MAXN]; // 记录每个妹子和每个男生的好感度 18 19 int ex_girl[MAXN]; // 每个妹子的期望值 20 21 int ex_boy[MAXN]; // 每个男生的期望值 22 23 bool vis_girl[MAXN]; // 记录每一轮匹配匹配过的女生 24 25 bool vis_boy[MAXN]; // 记录每一轮匹配匹配过的男生 26 27 int match[MAXN]; // 记录每个男生匹配到的妹子 如果没有则为-1 28 29 int slack[MAXN]; // 记录每个汉子如果能被妹子倾心最少还需要多少期望值 30 31 32 33 int N; 34 35 36 37 38 39 bool dfs(int girl) 40 41 { 42 43 vis_girl[girl] = true; 44 45 46 47 for (int boy = 0; boy < N; ++boy) { 48 49 50 51 if (vis_boy[boy]) continue; // 每一轮匹配 每个男生只尝试一次 52 53 54 55 int gap = ex_girl[girl] + ex_boy[boy] - love[girl][boy]; 56 57 58 59 if (gap == 0) { // 如果符合要求 60 61 vis_boy[boy] = true; 62 63 if (match[boy] == -1 || dfs( match[boy] )) { // 找到一个没有匹配的男生 或者该男生的妹子可以找到其他人 64 65 match[boy] = girl; 66 67 return true; 68 69 } 70 71 } else { 72 73 slack[boy] = min(slack[boy], gap); // slack 可以理解为该男生要得到女生的倾心 还需多少期望值 取最小值 备胎的样子【捂脸 74 75 } 76 77 } 78 79 80 81 return false; 82 83 } 84 85 86 87 int KM() 88 89 { 90 91 memset(match, -1, sizeof match); // 初始每个男生都没有匹配的女生 92 93 memset(ex_boy, 0, sizeof ex_boy); // 初始每个男生的期望值为0 94 95 96 97 // 每个女生的初始期望值是与她相连的男生最大的好感度 98 99 for (int i = 0; i < N; ++i) { 100 101 ex_girl[i] = love[i][0]; 102 103 for (int j = 1; j < N; ++j) { 104 105 ex_girl[i] = max(ex_girl[i], love[i][j]); 106 107 } 108 109 } 110 111 112 113 // 尝试为每一个女生解决归宿问题 114 115 for (int i = 0; i < N; ++i) { 116 117 118 119 fill(slack, slack + N, INF); // 因为要取最小值 初始化为无穷大 120 121 122 123 while (1) { 124 125 // 为每个女生解决归宿问题的方法是 ：如果找不到就降低期望值，直到找到为止 126 127 128 129 // 记录每轮匹配中男生女生是否被尝试匹配过 130 131 memset(vis_girl, false, sizeof vis_girl); 132 133 memset(vis_boy, false, sizeof vis_boy); 134 135 136 137 if (dfs(i)) break; // 找到归宿 退出 138 139 140 141 // 如果不能找到 就降低期望值 142 143 // 最小可降低的期望值 144 145 int d = INF; 146 147 for (int j = 0; j < N; ++j) 148 149 if (!vis_boy[j]) d = min(d, slack[j]); 150 151 152 153 for (int j = 0; j < N; ++j) { 154 155 // 所有访问过的女生降低期望值 156 157 if (vis_girl[j]) ex_girl[j] -= d; 158 159 160 161 // 所有访问过的男生增加期望值 162 163 if (vis_boy[j]) ex_boy[j] += d; 164 165 // 没有访问过的boy 因为girl们的期望值降低，距离得到女生倾心又进了一步！ 166 167 else slack[j] -= d; 168 169 } 170 171 } 172 173 } 174 175 176 177 // 匹配完成 求出所有配对的好感度的和 178 179 int res = 0; 180 181 for (int i = 0; i < N; ++i) 182 183 res += love[ match[i] ][i]; 184 185 186 187 return res; 188 189 } 190 191 192 193 int main() 194 195 { 196 197 while (~scanf("%d", &N)) { 198 199 200 201 for (int i = 0; i < N; ++i) 202 203 for (int j = 0; j < N; ++j) 204 205 scanf("%d", &love[i][j]); 206 207 208 209 printf("%d\n", KM()); 210 211 } 212 213 return 0; 214 215 }