频谱感知2：衰落信道上未知信号的能量检测

本文主要内容摘自下面文献:
[1] Fadel F. Digham (2007). “On the Energy Detection of Unknown Signals Over Fading Channels.” IEEE TRANSACTIONS ON COMMUNICATION 55(1): 4.
[2] H.Urkowitz (1967). “Energy Detection of Unknown Deterministic Signals.” Proceedings of the IEEE 55(4): 9.【参见博文《合作频谱感知：未知确定信号的能量检测》】
[3] Zhi Quan, S. C., and Ali H. Sayed (2008). “Optimal Linear Cooperation for Spectrum Sensing in Cognitive Radio Networks.” IEEE JOURNAL OF SELECTED TOPICS IN SIGNAL PROCESSING, 2(1): 13.
[4] 博文《卡方分布》

1、系统模型

  Urkowitz (1967)一文中，分别讨论了低通和带通两种情况。这里主要集中讨论带通情况。设发送的低通信号为 $S_{\rm LP}(t)=s_c(t)+js_s(t)$，信道为 $h=\alpha e^{j\theta}$，则带通接收信号为

$r(t)={\Large\{ }\begin{aligned} {\mathcal R}\{[hs_{\rm LP}(t)+n_{\rm LP}(t)]e^{j2\pi f_ct}\}:H_1\\ {\mathcal R}\{n_{\rm LP}(t)e^{j2\pi f_ct}\}:H_0 \end{aligned}$此时，定义信噪比为 $\gamma =\frac{\alpha^2 E_s}{N_0}$。
  根据Urkowitz (1967)，我们可以得到判决变量为
$r=\frac{2}{N_0}\int_{0}^{T}r^2(t)dt.$
下面我们分别针对 $H_0$和 $H_1$进行推导。

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• $H_0$
     带通噪声可以表示为
  $n(t)=n_c(t)\cos(2\pi f_ct)-n_s(t)\sin(2\pi f_ct),$因此，判决变量为
  $\begin{aligned} r&=\frac{2}{N_0}\int_{0}^{T}n^2(t)dt\\ &=\frac{1}{N_0}\int_{0}^{T}\left[ n_c^2(t)+n_s^2(t)\right]dt\\ \end{aligned}$进一步，我们把 $n_c(t)$和 $n_s(t)$分别用有限个抽样样值表示，注意这时的抽样速率为 $W$而非 $2W$，若 $N=2WT$，则有 $\begin{aligned} n_c(t)&=\sum_{i=1}^{N/2}n_{ci}{\rm sinc}\left(Wt-i \right)\\ n_s(t)&=\sum_{i=1}^{N/2}n_{si}{\rm sinc}\left(Wt-i \right), \end{aligned}$利用sinc函数的性质，我们可以得到

$r=\frac{1}{N_0W}\sum_{i=1}^{N/2}\left[ n_{ci}^2+n_{si}^2\right]=\sum_{i=1}^{N/2}\left[ \left(\frac{n_{ci}}{\sqrt{N_0W}}\right)^2+\left(\frac{n_{si}}{\sqrt{N_0W}}\right)^2\right]$满足中心 $\chi^2$分布，自由度为 $2TW$。

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• $H_1$
     低通等效信号为
  $s_{\rm LP}(t)=s_c(t)+js_s(t),$等效低通信道为 $h_{\rm LP}=\alpha_c+j\alpha_s$，则经过衰落信道后的低通等效接收信号（不含噪声）为
  $s'_{\rm LP}(t)=\alpha_cs_c(t)+j\alpha_c s_s(t)+j\alpha_s s_c(t)-\alpha_ss_s(t),$则带通信号可以表示为
  $\begin{aligned} s'(t)&={\mathcal R}\left[ s'_{\rm LP}(t)e^{j2\pi f_ct} \right]\\ &=\left[ \alpha_cs_c(t)-\alpha_ss_s(t)\right]\cos(2\pi f_ct)-\left[\alpha_c s_s(t)+\alpha_s s_c(t)\right]\sin(2\pi f_ct)\\ \end{aligned}$由此，可以得到接收信号为
  $\begin{aligned} r(t)&=\left[ \alpha_cs_c(t)-\alpha_ss_s(t)+n_c(t)\right]\cos(2\pi f_ct)-\left[\alpha_c s_s(t)+\alpha_s s_c(t)+n_s(t)\right]\sin(2\pi f_ct)\\ &=r_c(t)\cos(2\pi f_ct)-r_s(t)\sin(2\pi f_ct) \end{aligned}$同理，可以用抽样样值表示
  $\begin{aligned} r_c(t)&=\sum_{i=1}^{N/2}[\alpha_c s_{ci}-\alpha_s s_{si}+n_{ci}]{\rm sinc}\left(Wt-i \right)\\ r_s(t)&=\sum_{i=1}^{N/2}[\alpha_c s_{si}+\alpha_s s_{ci}+n_{si}]{\rm sinc}\left(Wt-i \right), \end{aligned}$由此，我们可以得到
  $\tag{2} \begin{aligned} r=&\frac{2}{N_0}\int_{0}^{T}r^2(t)dt\\ &=\frac{1}{N_0}\int_{0}^{T}\left[ r_c^{2}(t)+r_s^{2}(t)\right]dt\\ \end{aligned},$即

$\begin{aligned} H_1:\qquad r&=\frac{1}{N_0W}\left[ \sum_{i=1}^{N/2}(\alpha_c s_{ci}-\alpha_s s_{si}+n_{ci})^2+\sum_{i=1}^{N/2}(\alpha_c s_{si}+\alpha_s s_{ci}+n_{si})^2\right]\\ &=\sum_{i=1}^{N/2}\left(\frac{\alpha_c s_{ci}-\alpha_s s_{si}+n_{ci}}{\sqrt{N_0W}}\right)^2+\sum_{i=1}^{N/2}\left(\frac{\alpha_c s_{si}+\alpha_s s_{ci}+n_{si}}{\sqrt{N_0W}}\right)^2 \end{aligned}$满足非中心 $\chi^2$分布，方差 $\sigma^2=1$，非中心参数为 $\mu=2\gamma$， $\gamma=\frac{\alpha E_s}{N_0}$。

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  我们来推导下非中心参数：
$\begin{aligned} \mu&=\sum_{i=1}^{N/2}\left(\frac{\alpha_c^2 s^2_{ci}}{{N_0W}}+\frac{\alpha_s^2 s^2_{si}}{{N_0W}}\right)+\sum_{i=1}^{N/2}\left(\frac{\alpha_c^2 s^2_{si}}{{N_0W}}+\frac{\alpha_s^2 s^2_{ci}}{{N_0W}}\right)\\ &=\frac{\alpha_c^2}{N_0} \sum_{i=1}^{N/2}\frac{s^2_{ci}}{{W}}+\frac{\alpha_s^2}{N_0} \sum_{i=1}^{N/2}\frac{s^2_{si}}{{W}}+\frac{\alpha_c^2}{N_0} \sum_{i=1}^{N/2}\frac{s^2_{si}}{{W}}+\frac{\alpha_s^2}{N_0} \sum_{i=1}^{N/2}\frac{s^2_{ci}}{{W}}\\ &=\frac{2\alpha^2 E_s}{N_0} \end{aligned}$

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因此， $r$的概率密度函数可以表示为
$f_R(r)=\left\{\begin{aligned} \frac{r^{\frac{N}{2}-1}e^{-\frac{r}{2\sigma^2}}}{\sigma^N2^{\frac{N}{2}}\Gamma(\frac{N}{2})},&\quad H_0\\ \frac{1}{2\sigma^2}(\frac{r}{\mu})^{\frac{N-2}{4}}e^{-\frac{\mu+r}{2\sigma^2}}I_{\frac{N}{2}-1}(\frac{\sqrt{\mu r}}{\sigma^2}),&\quad H_1, \end{aligned}\right.$这里的 $I_v(\cdot)$为 $v$阶第一类修正贝塞尔函数。

2、AWGN信道上的检测概率与虚警概率

  为了计算检测与虚警概率，有很多近似方法。下面我们主要讨论高斯分布来近似。我们知道，随着样本数 $N$的增大，根据中心极限定理，可以认为 $y$的分布接近高斯分布。
  我们知道检测变量 $r$满足如下分布：
$r\sim \left\{\begin{aligned} \chi_N^2,&\quad H_0\\ \chi_N^2(\mu),&\quad H_1 \end{aligned} \right.$这里 $\mu=\frac{2E_s\alpha^2}{N_0}=2\gamma$，显然 $\gamma$为信噪比。

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用高斯分布近似卡方分布：
  若 $m=\sum_{i=1}^{N}r_i^2$，其中 $r_i\sim {\mathcal N}(0,\sigma^2)$，显然 $\frac{m}{\sigma^2}$为自由度等于 $N$的卡方分布。当 $N$足够大时，我们可以把卡方分布近似成高斯分布。由于 $(\frac{r_i}{\sigma^2})^2$的均值1，方差为2，因此 $r_i$的均值为 $\sigma^2$，方差为 $2\sigma^4$，因此有
$m\sim {\mathcal N}(N\sigma^2,2N\sigma^4).$
  若 $m=\sum_{i=1}^{N}r_i^2$，其中 $r_i\sim {\mathcal N}(s,\sigma^2)$，显然 $\frac{m}{\sigma^2}$为自由度等于 $N$的非中心卡方分布，其均值为 $Ns+N$，方差为 $2(N+2Ns$)，这里 $Ns=\mu$为非中心参数。同样当 $N$足够大时，我们将其近似为高斯分布。此时 $r_i$的均值为 $N(1+s)\sigma^2=(N+\mu)\sigma^2$，方差为 $2N(1+2s)\sigma^4=2(N+2\mu)\sigma^4$，因此有
$m\sim {\mathcal N}\left((N+\mu)\sigma^2,2(N+2\mu)\sigma^4)\right).$

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当 $N$足够大时，我们可以把卡方分布近似成均值为
$m_r=\left\{ \begin{aligned} N\sigma^2;&\quad H_0\\ (N+\mu)\sigma^2;&\quad H_1 \end{aligned}\right.$方差为
$\sigma^2_r=\left\{ \begin{aligned} 2N\sigma^4;&\quad H_0\\ 2(N+2\mu)\sigma^4;&\quad H_1 \end{aligned}\right.$
的高斯分布，即 $r\sim {\mathcal N}(m_r,\sigma^2_r)$。
  若判决门限设为 $\eta$，则检测概率为
$P_d={\rm Pr}(r>\eta|H_1)=Q\left[\frac{\eta-{\rm E}(r|H_1)}{\sqrt{{\rm Var}(r|H_1)}} \right],$虚警概率为
$P_f={\rm Pr}(r>\eta|H_0)=Q\left[\frac{\eta-{\rm E}(r|H_0)}{\sqrt{{\rm Var}(r|H_0)}} \right].$
  显然，不同门限值大小，会影响 $P_d$与 $P_f$。此外，我们还有漏检概率为
$P_m=1-P_d.$
  图1给出了漏检概率 $P_m$随虚检概率( $P_f$)变化的曲线，这里没有考虑衰落，即 $\alpha=1$。显然， $P_m$随着 $P_f$的增加而减少。我们还可以发现，随着信噪比 $\gamma$的增大，曲线下面积在减少，因此检测性能变好。
            图1 漏检概率( $P_m$)与虚检概率( $P_f$)关系曲线