欧几里得与扩展欧几里得

以下，是本题需要的所有前置知识(大概吧wwww),

如果您已经学会了所有的前置知识,
请忽略 $Baka$ 阿空的废话
直接看关于本题的内容

1.欧几里得定理：

即 : $\large gcd(a,b) = gcd(b,a\mod b)$

当 $b=0$ 时，$gcd(a,b)= \mid a\mid$ ;

感谢cyh学长给的证明 :

设 : $a,b$ 的最大公约数为 $c$

则 : $a=nc\ ,\ b=mc$ , $(n,m \in Z)$ , $a=k\times b + r$

则 : $r=a\%b=a-k b=nc-kmc=(n-km)c$

若要使 $(a,b) = (b,a\%b)$ ,

则需要证 : $b , r$ 的最大公约数也为 $c$ ,

即 : $b=mc , r=(n-km)c$ 中 , $m,(n-km)$ 互质。
- 子证明：
  
  用反证法 , 设存在 $d$ 为 $m,(n-km)$ 的最大公约数，且 $d > 1$。
  
  设 : $n-km=qd$ , $m=pd$
  
  则 : $b = mc = pdc\$ ,
  
  $\ a=kb+r=kpdc + qdc=dc(kp+q)$
  
  则 : $a$ 还存在一个因数 $dc > c$
  
  此结论与$a,b$ 的最大公约数为 $c$ 相矛盾
  
  故 : 不存在 $d>1$ 作为 $m,(n-km)$ 的最大公约数
  
  则： $m,(n-km)$互质，子证明成立。
由子证明，得: $b=mc , r=(n-km)c$ 中 , $m,(n-km)$ 互质。

则： $b$ 与 $r$ 的最大公因数仍为 $c$

证毕。

应用:

有了以上的知识,我们便可以写出一个求$a,b$ 的 $gcd(a,b)$ 的函数了

由欧几里得定理可得 , 要通过递归来求得$gcd(a,b)$的值

递归边界即: 当 $b=0$ 时，$gcd(a,b)=a$ ;

简单的代码实现:

int gcd(int a,int b)
{
    if(b) 
      return gcd(b,a%b);
    else 
      return a;
}

也可以写成一行：

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

2. 裴蜀定理:

设 $a,b$ 为不全为 $0$ 的整数 , 则存在整数 $x,y$ ,使得 $\large ax + by = gcd(a,b)$ 。

特别地 , $gcd(a,b)=1$ $\Leftrightarrow$
存在 $x,y \in Z$ , 使: $ax+by = 1$ ;

那么该如何证明定理的正确性呢 ? 请继续往下看:

3. 欧几里得扩展：

对于不完全为 $0$ 的两个数 $a,b$ ,必然存在无限个$x,y$ ,使方程
$\large ax + by = gcd(a,b)$成立

证明:

设$a>b$
1. 当$b=0 $时 , $gcd(a,b)=a$ ,此时有唯一的解 : $x=1,y=0$;
2. 当$a\times b\not= 0$ 时 ,
根据欧几里得定理 : $ gcd(a,b) = gcd(b,a% b)$ , 可知:

$\underline{ax + by }= gcd(a,b) = gcd(b,a\% b)=\underline{b {x1} + (a\% b) y1}$

( 设$x1,y1$是满足如上情况的一组解 )

而:$a\% b = a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b$

则: 原等式可转化为:

①. $ax + by = bx1 + (a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times b)y1$

②. $ax + by = bx1 + ay1 -\lfloor \frac{a}{b}\rfloor by 1$

③. $ax + by = ay1 +b(x1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y 1)$

由③，可得：

$x = y1$

$y=x1- \lfloor\frac{a}{b}\rfloor y1 $

这样 , 就可以得到 $ax+by = c$ 的一组解

方程其他整数解 $xi,yi$ 满足 :

$xi = x + \frac{b}{gcd(a,b)} \times t $

$yi = y + \frac{a}{gcd(a,b)} \times t $

其中， $t \in Z$
代码实现

要想写一个求解 $ax + by = gcd(a,b)$ 的程序

通过以上的证明 , 显然 , 可以通过递归实现

递归边界即 : 当$b=0 $时 , $gcd(a,b)=a$ ,此时有唯一的解 : $x=1,y=0$;
代码：
cpp int exgcd(int a,int b,int d,int &x,int &y) { if(!b) { x=1 , y=0; return a; } d=exgcd(b,a % b,x,y); int tmp=x; x=y , y=tmp-a/b*y; }
求解不定方程:

对于不定方程 : $ ax + by = c $ :

根据扩展欧几里得 , 可知 :

对于方程$ax + by = gcd(a,b)$ , 有无数组解 $x,y$.

则 :

1.若$ c% gcd(a,b) \not= 0 $ , 则原方程无解。

2.若$c \% gcd(a,b) = 0$ :

设$d = gcd(a,b)$ , 则原方程可转化为 :

$a\times (x\times \frac{d}{c}) + b\times (y\times \frac{d}{c}) =d (= c\times \frac{d}{c})$

换元，使 $x1=(x\times \frac{d}{c})$ , $y1=(y\times \frac{d}{c})$;

解方程: $ax1 + by1 = d$ , 有无数组解 $x1,y1$,

求解出 $x1,y1$ 后 , 可得:

$x=x1 \times \frac{c}{d}$ , $y=y1 \times \frac{c}{d}$

即可得到原方程 $ax + by = c$ 的解

4.关于本题:

~~(啰嗦这么多终于开始说正事了)~~

题目中的三种操作:

①将酒桶中的酒倒入容积为$b\ ml$的酒杯中；
②将容积为$a\ ml$的酒杯中的酒倒入酒桶；
③将容积为$b\ ml$的酒杯中的酒倒入容积为$a\ ml$的酒杯中。
题意分析:

设 最后剩余的最小酒量 为 $ans$
每次添加 $b\ ml$的酒 , 每次倒出 $a\ ml$ 的酒

则有:
$ans = -ax_1 + by_1 (x_1,y_1 \in Z) $

欲使此不定方程有解
则 $ans = k\times \gcd(a,b) \ (k\in Z)$
而要求 $ans$的 最小非负整数解
故$ans = gcd(a,b)$
算法实现:

用扩展欧几里得
解不定方程 $\gcd(a,b) = ax_1 + by_1$
得到了一组 $x_1$ 与 $y_1$ 的解

然后使 $x_1\times(-1)\ ,\ a\times(-1)$;
原方程转化为:
$\underline{ax_1 + by_1} = (-a)\times(-x_1) + by_1 = \underline{-ax + by}$
得到:
$x= -x_1$
$y=y_1$

然后通过
cpp while(x<0 || y<0) x+= (x<0 )?b/gcd:0, y-= (x>=0)?a/gcd:0;

将 $x,y$ 都转化为最小的非负整数解
即得答案

附 $AC$ 代码

#include<cstdio>
#include<ctype.h>
//====================================================
int a,b,x,y,gcd;
//====================================================
inline int read()
{
    int fl=1,w=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch) && ch!='-') ch=getchar();
    if(ch=='-') fl=-1;
    while(isdigit(ch)){w=w*10+ch-'0',ch=getchar();}
    return fl*w;
}
void exgcd(int a,int b)//扩展欧几里得求线性不定方程的解 
{
    if(b)
    {
        exgcd(b,a%b);
        int k=x;
        x=y , y=k-a/b*y;
    }
    else 
      x=1,y=0,gcd=a;
    return ;
}
//====================================================
signed main()
{
    a=read(),b=read();
    exgcd(a,b);
    x*=-1,a*=-1;//进行转化 
    while(x<0 || y<0)//获得最小的非负整数解 
      x+= (x<0 )?b/gcd:0,
      y-= (x>=0)?a/gcd:0;
    
    printf("%d\n%d %d",gcd,x,y);
}

题解 P1292 【倒酒】

欧几里得与扩展欧几里得

目录：

1.欧几里得定理：

感谢cyh学长给的证明 :

应用:

2. 裴蜀定理:

3. 欧几里得扩展：

证明:

代码实现

求解不定方程:

4.关于本题:

题目中的三种操作:

题意分析:

算法实现:

附 \(AC\) 代码

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