BM求线性递推

// 题目来源：ACM-ICPC 2018 焦作赛区网络预赛

Poor God Water

题意

God Water喜欢吃Meat, Fish 和 Chocolate，每个小时他会吃一种食物，但有些吃的顺序是危险/不高兴的。求在N小时内他的饮食方案有多少种不同组合。在连续三小时内这些组合是不可行的：

unhappy :
MMM FFF CCC

dangerous :
MCF FCM CMC CFC

思路1

设第 N 小时能吃的饮食方案数为 A[N]，根据连续三小时的可能组合，我们可以发现 A[N] 可以由 A[N-1] 和 A[N-2] 递推得到。由于相邻两小时的组合不是独立的，不能利用乘法计数原理。

用向量 a[N] = (MM, FM, CM, MF, FF, CF, MC, FC, CC) 记录 N 小时的最后两小时所吃的食物状态总的方案数，那么只需要找到矩阵 A，使得 a[N-1] · A = a[N]，那么就能用矩阵快速幂解决。

构造的矩阵如下：
\[ A = \begin{bmatrix} 0 1 1 0 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 1 1 1 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 1 0 1 \\ 1 1 1 0 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 1 0 1 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 0 1 1 \\ 1 1 0 0 0 0 0 0 0 \\ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 \\ 0 0 0 0 0 0 1 1 0 \\ \end{bmatrix} \]

思路2

&emps; 使用杜教的BM模板，扔进8~10项，调用gao函数直接求 N 项结果。时间复杂度与矩阵快速幂等同。

&nbps;

AC代码1

点击查看代码

```cpp #include #include using namespace std; const int mod = 1e9+7; typedef long long ll; struct Mat { ll m[9][9]; ll tot; Mat operator*(const Mat& a)const { Mat res = {0}; for(int i=0;i<9;i++) { for(int j=0;j<9;j++) { for(int k=0;k<9;k++) { res.m[i][j] += m[i][k] * a.m[k][j] % mod; res.m[i][j] %= mod; } res.tot =(res.tot + res.m[i][j]) % mod; } } return res; } ll getSum() const { return tot; // ll res = 0; // for(int i=0;i<9;i++) // for(int j=0;j<9;j++) // res = (res + m[i][j]) % mod; // return res; } void print() const { for(int i=0;i<9;i++) { for(int j=0;j<9;j++) { printf("%lld ", m[i][j]); } printf("\n"); } } }; Mat getI() { Mat I = {0}; for(int i=0;i<9;i++) I.m[i][i] = 1; return I; } const Mat I = getI(); Mat getA0() { Mat res = {0}; for(int k=0;k<3;k++) for(int i=0;i<3;i++) { for(int j=3*i;j<3*i+3;j++) res.m[k*3+i][j] = 1; } res.m[0][0] = 0; res.m[2][7] = 0; res.m[4][4] = 0; res.m[5][6] = 0; res.m[6][2] = 0; res.m[7][5] = 0; res.m[8][8] = 0; res.tot = 20; return res; } const Mat A0 = getA0(); Mat pow_mod(Mat a, ll n) { Mat res = I; while(n) { if(n&1) res = res*a; a = a*a; n >>= 1; } return res; } ll solve(ll n) { if(n==1) return 3; else if(n==2) return 9; return pow_mod(A0, n-2).getSum(); } int main() { int T; cin>>T; while(T--) { ll n; scanf("%lld", &n); printf("%lld\n", solve(n)); } return 0; } /* MFC 3*3*3 = 27 unhappy: MMM FFF CCC dangerous: MCF FCM CMC CFC M F C MM 0 1 1 MF 1 1 1 MC 1 0 1 FM 1 1 1 FF 1 0 1 FC 0 1 1 CM 1 1 0 CF 1 1 0 CC 1 1 0 */ ```