最短线性递推式 BM算法 Berlekamp-Massey

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已知数列 $\{a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}\}$，求其最短线性递推式。即求数列 $\{r_0,r_1,\cdots,r_{m-1}\}$满足 $\forall i\in[m,n),a_i=\sum_{j=1}^mr_{j-1}a_{i-j}$。

考虑不停地修改答案递推式。设 $R_p$表示得到的第 $p$个递推式，最开始的递推式为空，即 $R_0=\{\}$。记 $d_i$为 $a_i$与由当前递推式算出的 $a_i$的差。如果 $d_i=0$那么说明递推式到 $i$都是对的，否则记 $f_p$表示 $R_p$的错误位置。考虑如何修改当前的 $R$。设新的递推式为 $R_{p+1}$，事实上，我们把 $R_p$加上 $R'$即可，其中 $R'$是 $i-f_{p-1}-1$个 $0$拼上 $M$拼上 $R_{p-1}$的 $-M$倍，其中 $M=\frac{d_i}{d_{f_{p-1}}}$。每次最多修改 $n$项，最多修改 $n$次，复杂度为 $O(n^2)$。