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月之谜
Description
打败了Lord lsp 之后，由 于lqr 是一个心地善良的女孩 子，她想净化Lord lsp 黑化的 心，使他变回到原来那个天然 呆的lsp……在倒霉的光之英 雄applepi 的指引下，lqr 来到 了月之泉。月之泉的精灵告诉 她，想要净化Lord lsp 的话， 就要解出月之泉的谜题。
具体地来说是这样的，定 义月之数为能够被其十进制 表示下各个数位的和整除的数。给定整数L,R，你需要计算出区间[L, R]中有多少个月之数。 lqr 发觉这不是数学竞赛能够解决的问题，于是她又找到了你……所以说你需要帮助她解决 这个问题。
Input Format
输入包含多个测试数据。
每组测试数据占一行，含有两个整数L 和R。
输入文件以EOF 结束。
Output Format
对于每组测试数据，在单独的一行内输出结果。
Sample Input
1 100
101 200Sample Output
33
26解析
有点复杂，但肯定还是数位\(dp\)。
设\(f[i][j][k][l]\)表示长度为\(i\)的数，各个数位之和为\(j\)，数值\(\bmod\ k=l\)的月之数个数。状态的二三四维，其实都是为了满足统计答案的限制服务的。
还是考虑最高位填的数字是什么，可以得到状态转移方程：
\[f[i][j][k][l]=\sum_{p=0}^9f[i-1][j-p][k][(l-p\times 10^{i-1})\bmod k]\]
这个方程的边界比较难以处理，所以我们可以暴力计算出\(i=0\)和\(i=1\)时有关状态的\(dp\)值。
然后就是考虑得到区间\([1,n]\)中月之数的个数。首先我们枚举各位数字之和\(sum\)，然后还是从高位开始枚举，得到与原数不同的第一个位\(i\)，假设\(n=\sum_{i=1}^{cnt}num[i]\times10^{i-1}\)，就是\(n\)的十进制各个位，并且当前我们得到了\[t=\sum_{j=1}^{i-1}num[j],q=\left(\sum_{j=1}^{i-1}num[j]\times10^{j-1}\right)\bmod sum\]
那么我们枚举这一位填的值\(p\)，若\(p<num[i]\)，则后面可以随便填，累加答案\(f[i-1][sum-t-p][sum][(sum-q-p\times 10^{i-1})\bmod sum]\)。反之，若\(p=num[i]\)，则更新\(t,q\)，继续尝试下一位即可。
\(Code:\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 12 , S = 92;
long long f[N][S][S][S],Pow[N];
int num[N];
inline int sub(long long a,long long b,int mod) { return ( ( a - b ) % mod + mod ) % mod; }
inline void Prepdp(void)
{
Pow[0] = 1;
for (int i=1;i<=10;i++) Pow[i] = Pow[i-1] * 10;
for (int k=1;k<=90;k++) f[0][0][k][0]++;
for (int i=0;i<=9;i++)
for (int k=1;k<=90;k++)
f[1][i][k][i%k]++;
for (int i=2;i<=10;i++)
for (int j=0;j<=i*9;j++)
for (int k=1;k<=90;k++)
for (int l=0;l<k;l++)
for (int p=0;p<=min(9,j);p++)
f[i][j][k][l] += f[i-1][j-p][k][sub(l,p*Pow[i-1],k)];
}
inline long long solve(long long x)
{
if ( x == 0 ) return 0;
int cnt = 0; long long res = 0 , y = x , s = 0;
memset( num , 0 , sizeof num );
while ( x ) s += num[++cnt] = x % 10 , x /= 10;
if ( y % s == 0 ) res++;
for (int sum=1;sum<=90;sum++)
{
int t = 0 , q = 0;
for (int i=cnt;i>=1;i--)
{
for (int p=0;p<min(num[i],sum-t+1);p++)
res += f[i-1][sum-t-p][sum][sub(sum,q+p*Pow[i-1],sum)];
t += num[i] , q = ( q + num[i] * Pow[i-1] ) % sum;
if ( t > sum ) break;
}
}
return res;
}
int main(void)
{
Prepdp();
long long l,r;
while ( ~scanf("%lld%lld",&l,&r) )
{
long long ans = solve(r) - solve(l-1);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
<后记>