二进制符号解释

一：二进制运算符

&:且：都为1才为真

例：A&B    A=12    B=3

A&B=1100&0011=0000

|：或：有一个为1就为真

例：A|B    A=12    B=3

A|B=1100|0011=1111

^:异或：一个为0另一个为1---两个不相同为真

例：A^B    A=12    B=3

A^B=1100^0011=1111

~:取反   将0转化为1，将1转化为0

例：~A   A=12

~A=0011

二：二进制运算符的应用

1）n&(n-1)

(1)可以知道n转化为二进制有几个1---求某一个数的二进制表示中1的个数

while(n>0){
    count++;
    n=n&(n-1);
}

（2）判断一个数是否是2的方幂

if(n>0&&((n&(n-1))==0))
cout<<"该数是2的方幂"<<endl;

（2）计算N!的质因数2的个数

容易得出N!质因数2的个数 = [N / 2] + [N / 4] + [N / 8] + …
下面通过一个简单的例子来推导一下过程：N = 10101(二进制表示）
现在我们跟踪最高位的1，不考虑其他位假定为0，
则在
[N / 2] 01000
[N / 4] 00100
[N / 8] 00010
[N / 8] 00001
则所有相加等于01111 = 10000 - 1
由此推及其他位可得：(10101)!的质因数2的个数为10000 - 1 + 00100 - 1 + 00001 - 1 = 10101 - 3(二进制表示中1的个数)

推及一般N!的质因数2的个数为N （N二进制表示中1的个数）

2)n&(-n)

在树状数组中lowbit出现 用来求 t 中的因子中形如2^k的数为多少 用来取得n最右边的1，可以知道其因子中有几个2

10: 0000 1010

-10: 1111 0110

10&(-10)为 0010 = 2 所以10的因子中为2的有一个，2^k的形式的为 2^1

8&(-8) = [1000] = 8 所以8的因子中为2的有3个，2^k的形式为2^3