树形签到题

题意

给定一棵树，找出\(k\)个点，使\(\sum dis(A_i,A_{i+1})\)最小。

---

思路

显然选出的点构成一颗树，对于这样的树最优的排列方式使直径仅计算一次，其他边计算两次。

所以得出子状态\(f[i][j][0/1/2]\)表示以i为根的子树中选了j个点，这j个点中包含了0/1/2个直径端点的最短长度。

状态转移方程分类讨论，还好，不算毒瘤。

f[now][j+k][0]=min(f[now][j+k][0],f[now][j][0]+f[to][k][0]+edge[i].val*2);
f[now][j+k][1]=min(f[now][j+k][1],f[now][j][0]+f[to][k][1]+edge[i].val);
f[now][j+k][1]=min(f[now][j+k][1],f[now][j][1]+f[to][k][0]+edge[i].val*2);
f[now][j+k][2]=min(f[now][j+k][2],f[now][j][2]+f[to][k][0]+edge[i].val*2);
f[now][j+k][2]=min(f[now][j+k][2],f[now][j][0]+f[to][k][2]+edge[i].val*2);
f[now][j+k][2]=min(f[now][j+k][2],f[now][j][1]+f[to][k][1]+edge[i].val);

\(j\)枚举的是\(now\)的子树除了\(to\)的子树以外的节点。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace StandardIO {
    
    template<typename T> inline void read (T &x) {
        x=0;T f=1;char c=getchar();
        for (; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
        for (; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) x=x*10+c-'0';
        x*=f;
    }
    template<typename T> inline void write (T x) {
        if (x<0) putchar('-'),x=-x;
        if (x>=10) write(x/10);
        putchar(x%10+'0'); 
    }
    
} 

using namespace StandardIO;

namespace Solve {
    
    const int N=3003;
    
    int n,K,ans=0x3f3f3f3f;
    int cnt;
    int head[N];
    struct node {
        int to,next,val;
    } edge[N<<1];
    int f[N][N][3],size[N];
    
    inline void add (int a,int b,int c) {
        edge[++cnt].to=b,edge[cnt].val=c,edge[cnt].next=head[a],head[a]=cnt;
    }
    void dp (int now,int fa) {
        size[now]=1,f[now][1][0]=f[now][1][1]=f[now][1][2]=0;
        for (register int i=head[now]; i; i=edge[i].next) {
            int to=edge[i].to;
            if (to==fa) continue;
            dp(to,now);
            for (register int j=min(size[now],K); j>=1; --j) {
                for (register int k=1; k<=min(size[to],K); ++k) {
                    if (j+k>K) continue;
                    f[now][j+k][0]=min(f[now][j+k][0],f[now][j][0]+f[to][k][0]+edge[i].val*2);
                    f[now][j+k][1]=min(f[now][j+k][1],f[now][j][0]+f[to][k][1]+edge[i].val);
                    f[now][j+k][1]=min(f[now][j+k][1],f[now][j][1]+f[to][k][0]+edge[i].val*2);
                    f[now][j+k][2]=min(f[now][j+k][2],f[now][j][2]+f[to][k][0]+edge[i].val*2);
                    f[now][j+k][2]=min(f[now][j+k][2],f[now][j][0]+f[to][k][2]+edge[i].val*2);
                    f[now][j+k][2]=min(f[now][j+k][2],f[now][j][1]+f[to][k][1]+edge[i].val);
                }
            }
            size[now]+=size[to];
        }
    }
    
    inline void MAIN () {
        read(n),read(K);
        for (register int i=1; i<n; ++i) {
            int x,y,z;
            read(x),read(y),read(z);
            add(x,y,z),add(y,x,z);
        }
        memset(f,0x3f,sizeof(f));
        dp(1,1);
        for (register int i=1; i<=n; ++i) {
            ans=min(ans,f[i][K][2]);
        }
        write(ans);
    }
    
}

int main () {
    Solve::MAIN();
}