qbxt Day3 on 2019-8-18

一、基础数论

1.进制转换

进制转换是一个非常简单且基础的问题。

也许我们只需要...Emmm...

列个式子就好了鸭

设\(k\)进制数每一位上是\(a_i\)，那么\((x)_k=\sum\limits_{i=1}^{\texttt{位数}}a_i*k^{i-1}\)

这是任意进制下数字的转换

和进制的转换有关的题目大多数围绕这个式子有关。
~~(NOIp普及组那个可以直接表示一位就够了)~~

2.辗转相除法（欧几里得算法）

辗转相除法应该是最简单的数论(数论只会gcd)

然后实现方式也很简单，是log级别的。

inline int gcd(int a, int b)
{
    int temp;
    while (b) temp=a,a=b,b=temp%b;
    return a;
}

为什么呢？我们假设\(a\geq b\)，那么\(a{\%}b\leq \frac{a}{2}\)。

因此我们这样做的复杂度上限应当最大就是\(O(logn)\)的。

证明的话

由裴蜀定理可以推得，\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)，所以我们一直向下直到......\(b=0\)即可。

然后\(lcm(a,b)\)的话其实就是\(\frac{a\times b}{gcd(a,b)}\)

3.扩展欧几里得(exgcd)

这个算法是算一个等式的一组特解
\[ x\cdot a+y\cdot b=gcd(a,b) \]
然而这个算法其实也是一个log的

怎么做呢

就是根据\(gcd(a,b)=a(b=0)\)，然后我们一直先递归求\(gcd(a,b)\)，然后直到某一层\(k\)会有一个
\[ gcd(a,b)\cdot x_k+0\cdot y_k = gcd(a,b) \]
显然这个时候\(x_k=1,y_k=0\)

那么我们怎么根据这个式子往回回溯求一开始的\(x_0,y_0\)呢？

我们可以举一个例子（举第一层的例子吧）

设\(a\cdot x_0+b\cdot y_0=gcd(a,b)\)
那么下一层就是\(b\cdot x_1+(a\bmod b)\cdot y_1=gcd(a,b)\)

我们可以知道\((a\bmod b)=a-b\cdot\big\lfloor{\frac{a}{b}}\big\rfloor\)，而且\(a\cdot x_0+b\cdot y_0=b\cdot x_1+(a\bmod b)\cdot y_1\)

替换式子之后会得到\(a\cdot x_0+b\cdot y_0=b\cdot x_1+(a-b\cdot\big\lfloor{\frac{a}{b}}\big\rfloor)\cdot y_1\)

拆开，得到\(left=a\cdot y_1+b(x_1-\big\lfloor{\frac{a}{b}}\big\rfloor\cdot y_1)\)

于是乎因为\(a,b\)都是一样的

那么\(x_0=y1,y_0=x_1-\big\lfloor{\frac{a}{b}}\big\rfloor\cdot y_1\)

回溯就可以了

代码实现：

//返回的是gcd(a,b)
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if (b==0)               //可以直接回溯了
    {
        x = 1, y = 0;
        return;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, x, y);
    int temp = x;           //
    x = y;                  //
    y = temp - (a / b) * y; //从下一层向这一层回溯
    return d;
}

有三个重要的式子，这里就不再赘述 ~~反正我也不会证明~~

4.数论分块

~~烧脑预警~~

首先我们了解\(\big\lfloor{\frac{x}{i}}\big\rfloor,i\in [1,x]\)的话是只有\(\sqrt{x}\)种取值的。

至于证明的话，我们可以分\([1,\sqrt{x}]\)和\([\sqrt{x}+1,x]\)两部分

因为我们知道前半部分是有\(\sqrt{x}\)种取值的，那么由于因子是对称的，因此另外一部分也是有\(\sqrt{x}\)种取值的。

因此我们直接开始Emmm...枚举根号次就好了

代码模板

void fenkuai(int n)
{
    for (int i = 1, last; i <= n; i = last + 1)
    {
        int a = n / i;
        last = n / a; // n / (n / i) 是与 n / i相同值的最大i......
        /* your code */
    }
}

然后呢，这样可以优化某一些枚举\(\big\lfloor{\frac{x}{i}}\big\rfloor\)的值的数论题目......

几个例题

1.求：
\[ \sum\limits_{i=1}^n(\big\lfloor\frac{n}{i}\big\rfloor)^3*i\pmod {1e9+7} \]
数据范围：
\[ n\leq 10^9 \]
一看只好跑一个数论分块

首先我们知道上面的结论之后可以直接优化

就是说\((\big\lfloor\frac{n}{i}\big\rfloor)^3\)的取值只有\(\sqrt{n}\)种，因此我们合并有这一项的式子，可以得到
\[ \sum\limits_{i=1}^n(\big\lfloor\frac{n}{i}\big\rfloor)^3*i = \sum\limits_{i=1,i=n/(\lfloor n/i\rfloor)+1}^n(\big\lfloor\frac{n}{i}\big\rfloor)^3*\frac{(l+r)\cdot(r-l+1)}{2},l=\frac{n}{i},r=\frac{n}{\frac{n}{i}} \]
这样就直接求了qwq

(LaTeX打得我心痛)

~~算了剩下的例题实在是不想敲了QAQ~~

二、质数筛法和欧拉函数

1.埃拉托色尼筛法

这个应该是最熟悉的了吧......

每次拿到一个质数，摁着质数向下筛他的倍数。

由于质数是log的，质数的倍数是log(log)级别的，因此整个算法的复杂度就是\(O(nlog(logn))\)的。

这个算法的最大缺点在于一个数有可能会被筛很多遍

这是没有必要的鸭

因此我们设计了一个方式防止重复筛一个数

只让一个数的最小的因子筛掉他

2.欧拉筛

没错就是它。

我们每次筛掉一个数一定是被最小的因子筛掉（~~除去1是预处理的~~）

于是我们就可以直接枚举质数p，当i可以被某一个质数筛掉，就停下筛下一个数。

为什么这样做是对的？？？

因为避免了大的质数筛掉较小的数字，保证了每一个数只会被筛一次。

当然同时我们还可以预处理每一个数的最小的因子，得到这个数组之后我们可以log时间内枚举一个数的所有质因子。

3.欧拉筛配备积性函数

这有什么好说的......

首先积性函数就是指在自然数范围内\(f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)\)的函数。

然后的话有欧拉函数和莫比乌斯函数作为积性函数的代表，登上历史舞台。

代码先鸽这着...

4.组合数

组合数当然是开心至极

~~那句小葱同学******是什么来着？？？~~

定义\(C^n_k\)表示在n个元素中取出k个元素的方案数

通常情况下我们计算组合数都要搭配容斥原理来做各种毒瘤。

然后这个容斥原理还要搭配莫比乌斯函数来进行毒瘤。

来个例题

给定n个数的序列\(a_1..a_n\)，求将序列分成两组使得两组的or和相等（数据保证有解）的方案数。

数据范围：
\[ n\leq 50,0\leq a_i\leq 2^{20} \]
那岂不是直接就做了（大雾）

我们按照每一个二进制位考虑

假设现在我们在检查第i个位，有以下几种情况：

数据中所有的数这一位都是0或者1
那么这样就直接不用计数了，怎样分都是一样的......答案乘\(C^n_{\frac{n}{2}}\)
如果不是都是1，那么必须有一组里面的数这一位有1，但是这并不好统计不是吗
但是我们可以考虑统计补集
然后套一个并查集就OK了

~~代码还是不写~~

5.组合八题

~~什么毒瘤~~

小球不等价，盒子不等价，盒子可以为空，有多少种方案？
小球不等价，盒子不等价，盒子不能为空，有多少种方案？
小球不等价，盒子等价，盒子不能为空，有多少种方案？
小球不等价，盒子等价，盒子可以为空，有多少种方案？
小球等价，盒子不等价，盒子可以为空，有多少种方案？
小球等价，盒子不等价，盒子不能为空，有多少种方案？
小球等价，盒子等价，盒子不能为空，有多少种方案？
小球等价，盒子等价，盒子可以为空，有多少种方案？

具体是什么上网上去查吧......