约数个数和「SDOI2015」

题意

已知\(n,m\)，求\(\sum^n_a\sum^m_b d(ab)\)，其中\(d(x)\)表示\(x\)的约数个数。

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思路

结论：\(d(i,j)=\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]\)。（证明见后）

由此可得原式等价于\(\sum^n_a\sum^m_b\sum_{i|n}\sum_{j|m}[gcd(i,j)==1]\)

即\(\sum^n_i\sum^m_j\frac{n}{i}\frac{m}{j}[gcd(i,j)==1]\)