P4550 收集邮票

题目描述

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。
现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入格式

一行,一个数字N
N<=10000

输出格式

要付出多少钱.
保留二位小数

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

21.25

这一道题可咋做？

顿时懵了

我们先来想一下这个问题的简化版由简入繁

假如一共只有1种邮票（废话啊）那买到的概率自然是1/1 肯定能够买到

（QAQ不就是1嘛）

假如一共只有2种邮票（事情越来越有意思了）

如果不考虑两种邮票之间的联系买到第一种邮票的概率是1/2 第二种也是 1/2

1+{1*1/2 + 2*1/4 + 3*(1/2)^3 +...+ k*(1/2)^k} k是正无穷

化简得1+2=3

期望做法：

定义f[i]为差i种买齐时的期望票数

f[0]=0;//初始定值

ans=f[n]//答案状态

拿n=2来举例

f[1]=1/2*(f[0]+1) + 1/2 *(f[1]+1)

f[1]=2;

f[2]=2/2(f[1]+1)=3

n=3

f[1]=1/3*(f[0]+1) +2/3*(f[1]+1) =3

f[2]=2/3 * (f[1]+1) +1/3*(f[2]+1) =4.5

f[3]=3/3*(f[2]+1)=5.5

f[i]=i/n*(f[i-1]+1) +(n-i)/n*(f[i]-1)

一波移项得

f[i]=f[i-1]+n/i

注：以上蒟蒻的异想天开部分的f全部脑补成g

接下来上我们老师的完整推导过程：

前方高能!

n=2
1+ {1*1/2+2*(1/2)^2+3*(1/2)^3+...(k-1)*(1/2)^(k-1)+k*(1/2)^k}
{}*2={1+2*1/2+3*(1/2)^2+4*(1/2)^3+...k*(1/2)^(k-1)}
{}={}*2-{}
=1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+...+(1/2)^(k-1)-k*(1/2)^k
=2-(1/2)^(k-1)-k*(1/2)^k
=2

ans=3
定义g[i]为差i种买齐时的期望
g[0]=0
n=2
g[1]=1/2*(g[0]+1)+1/2*(g[1]+1)
g[1]=g[0]+2=2
g[2]=2/2*(g[1]+1)=3

n=3
g[1]=1/3*(g[0]+1)+2/3*(g[1]+1)
g[1]=g[0]+3=3
g[2]=2/3*(g[1]+1)+1/3*(g[2]+1)
3*g[2]=2*g[1]+g[2]+3
g[2]=g[1]+1.5=4.5
g[3]=3/3*(g[2]+1)=5.5

n
g[i]=i/n*(g[i-1]+1)+(n-i)/n*(g[i]+1)
i*g[i]=i*g[i-1]+n
g[i]=g[i-1]+n/i

f[i][j]还差i种，这一次买需要j元，到买齐花费的期望
f[i][j]=i/n*(f[i-1][j+1]+j)+(n-i)/n*(f[i][j+1]+j)

买一张就涨价一元，如果之后还要买g张，那么贡献g*1元
f[i][j+1]=f[i][j]+g[i]

f[i][j]=i/n*(f[i-1][j]+g[i-1]+j)+(n-i)/n*(f[i][j]+g[i]+j)
f[i]=i/n*(f[i-1]+g[i-1]+j)+(n-i)/n*(f[i]+g[i]+j)

f[i][j]=f[i-1][j]+g[i-1]+(n-i)/i*g[i]+n*j/i

ans=f[n][1]
f[i]=f[i-1]+g[i-1]+(n-i)/i*g[i]+n/i