最小割
最大权闭合子图
闭合子图是什么？
就是一个有向无环连通图。
最大权闭合子图就是说，图上的节点有正有负，我们要选出权值最大的点集。
建图过程：
- \(S\xrightarrow{w(i)} i\ (w(i)>0)\)
- \(i\xrightarrow{\infty} j\ ((i,j)\in E)\)
- \(i\xrightarrow{-w(i)}T\ (w(i)<0)\)
然后跑最大流，用\(\sum w(i)\ (w(i)>0)\)（所有正权点的权值和）减去求出来的最大流（最小割）就是答案。
为什么要这样呢？
分类讨论：
- 如果正权边被割了，那就说明在最小割中，正权边\(\leqslant\)对面的负权边（否则被割掉的就不会是正权边而是负权边），对应的情况就是：选了正权边之后，正权边所连通的负权边比正权边还大（在绝对值上），这样选就亏本了，所以才需要割掉（在代码中就是从正权点的权值和中减去）。
- 如果负权边被割了，就说明正权边比负权边大，选了之后不会亏本，割掉的只是选了这个正权点所付出的最小成本。
（感觉这个是最小割当中最好理解的了……）
二选一模型
- 如果\(a\)被割给了\(S\)，\(b\)被割给了\(T\)，就有相应的代价；（双核CPU）
- 如果一个点集被割给了\(S\)，就有相应的收益；（寿司餐厅、Happiness、小M的作物）
- 如果一个点被割给了\(S\)，并且一个点集\(V'\)中有一个点被割给了\(T\)，就有相应的代价。
第一种
\[S\xrightarrow{w(a)} a \xrightarrow{\text{代价}}b \xrightarrow{w'(b)}T\]
这样的话，求出最小割之后，割掉的就是最小的代价。
第二种
代价是用来最小化的，所以用最小割可以直接解决，那收益呢？
没关系，可以先把收益都加起来，然后再把收益当成代价去建弧，跑最小割。
这样，割掉的就是最小的收益，剩下的收益自然就是最大的了。
第三种
（记不得老师讲什么了，自己脑补的）
\[T\xleftarrow{w(a)} a \xleftarrow{代价} x(附加点) \xleftarrow{\infty}(v\in V')\xleftarrow{w(v)} S\]
（画反了，不想调）
（因为例题少所以就不讲了，反正最小割目前只接触了这两种模型）