[总集] LOJ「分块」数列分块入门1 – 9(分块)

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分块9题

出题人hzw的解析

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(tips.以下代码中IO优化都已省去，想看可以点传送门)

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数列分块入门 1

修改：区间加

查询：单点值查询

这是一道经典题目，线段树、树状数组等都可以搞，这里讲讲分块

分块就是将一定长度的一段数打包成块，统一处理的算法

每个块都有自己的信息，自己的标记，统一维护，统一查询

我们可以将每个区间修改或查询拆分成在若干个整块，和头尾两个不完整的块中修改、查询后信息的总和

那此题中块要分多大呢？答案是$ \sqrt n $

由于本人太弱，下面给出hzw大佬的证明：

如果我们把每m个元素分为一块，共有 $ \frac{n}{m} $ 块，每次区间加的操作会涉及 $ O( \frac{n}{m} ) $ 个整块，以及区间两侧两个不完整的块中至多2m个元素。
我们给每个块设置一个加法标记（就是记录这个块中元素一起加了多少），每次操作对每个整块直接 $ O(1) $ 标记，而不完整的块由于元素比较少，暴力修改元素的值。
每次询问时返回元素的值加上其所在块的加法标记。
这样每次操作的复杂度是 $ O( \frac{n}{m} )+ O(m) $ ，根据均值不等式，当m取 $ \sqrt n $ 时总复杂度最低

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define rint register int
using namespace std;
const int N=50005,B=225; //B是最大块数
int n,len,bn; //bn是块数，len是块长
int L[B],R[B],tag[B],a[N],block[N];
//L[i]是块i的左边界,R[i]是块i的右边界,tag[i]是块i的统一加法标记
//a[i]表示元素i不加标记时的值,block[i]表示元素i的所属块
inline void add(int l,int r,int c){
    int p=block[l],q=block[r]; //p是左边界的所属块，q是右边界的所属块
    if(p==q){ //如果左右边界在同一块中
        for(int i=l;i<=r;++i) //直接对[l,r]每个元素进行修改
            a[i]+=c;
        return ;
    }
    for(rint i=p+1;i<=q-1;++i)
        tag[i]+=c; //给整块打上加法标记，就可以忽略块中的元素
    for(rint i=l;i<=R[p];++i)
        a[i]+=c; //给左边剩下的元素进行处理
    for(rint i=L[q];i<=r;++i)
        a[i]+=c; //给右边剩下的元素进行处理
}
signed main(){
    read(n);
    for(rint i=1;i<=n;++i)
        read(a[i]);
    bn=len=sqrt(n);
    for(rint i=1;i<=bn;++i){
        L[i]=(i-1)*len+1;
        R[i]=i*len;
        for(rint j=L[i];j<=R[i];++j)
            block[j]=i; //给没个元素规定所属块
    }
    if(R[bn]<n){ //如果没分完就再分一个
        L[++bn]=R[bn-1]+1;
        R[bn]=n;
        for(rint i=L[bn];i<=n;++i)
            block[i]=bn;
    }
    for(rint i=1;i<=n;++i){
        int opt,l,r,c;
        read(opt);
        read(l);
        read(r);
        read(c);
        if(!opt) add(l,r,c); //修改
        else Write(a[r]+tag[block[r]],'\n'); //查询:自己的值加上自己所属块的统一标记
    }
}