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题意
大概是说给你一棵树，每个点给一个权值\(a_i\)，对于任意一条边，两边的点至少选择一个的最小代价。
还有\(q\)个询问，每个询问限制两个点选或不选，再输出最小代价。
~话说这题考场上一看，一脸懵逼，最后硬干一个44分的暴力，然后才发现可以多弄个8分。
动态\(dp\)就算了，考场上谁会没事闲着放着前两题不做去敲动态\(dp\).
尝试暴力
话说这44分的摆着就是皇宫看守。
设\(F[i][0/1]\)表示以\(i\)为根的子树，\(i\)选或不选所产生的最小代价。
状态转移就很轻松的出来了：
\[F[x][0]=\sum_{y\in son(x)}F[y][1], F[x][1]=\sum_{y\in son(x)}min(F[y][0],F[y][1])\]
44分就拿到了。
然后再看看那个\(B\),发现每次询问都只会改变从\(a\)到\(b\)路上的权值，所以每次修改链上的\(dp\)值，就又拿到了8分。
尝试优化
这样，我们搬回刚才那个转移方程。
\[F[x][0]=\sum_{y\in son(x)}F[y][1], F[x][1]=\sum_{y\in son(x)}min(F[y][0],F[y][1])\]
于是，就可以发现，这个\(F\)数组的\(dp\)值是满足可加性的，于是就有了倍增。
对于每一条边，它的转移是这样的\(F[x][0]+=F[y][1], F[x][1]+=min(F[y][0],F[y][1])\).
那么我们可以让\(F[x][0/1]\)去代表以\(x\)为根的子树的\(dp\)值。
倍增优化
为了方便，我们放几张图表示转移过程。
这里用几种颜色分别代表不同区域的\(dp\)值。
显然\(F[x][0/1]\)代表的是\(k5\)部分的\(dp\)值。
用\(G[x][0/1]\)表示以\(x\)为根的子树，除\(x\)子树外的整棵树的\(dp\)值（也就是图中的\(k1-k5\)部分），从图中，我们可以得知\(k1-k5=(k1-k4)+(k4-k5).\)
于是这很容易得到这样一个状态转移：
\[G[x][0]=G[fa][1]+F[fa][1]-min(F[x][0],F[x][1]).\]
通过上面\(F\)的转移方程可以知道\(F[fa][1]-min(F[x][0],F[x][1])\)就是\(k4-k5\)部分。同样的，
\[G[x][1]=min\{G[fa][1]+F[fa][1]-min(F[x][0],F[x][1]),G[fa][0]+F[fa][0]-F[x][1]\}.\]
因为要用倍增，设\(anc1\)表示\(x\)的\(2^j\)祖先，显然我们就要从\(x\)的\(dp\)值转移到\(anc1\).
\(x\)的\(dp\)值是\(k5\)部分，\(anc1\)的\(dp\)值是\(k2\)部分，想要从\(x\)转移到\(anc1\)，我们就要在\(k5\)上加上\(k2-k5\)部分。
设\(f[x][j][0/1][0/1]\)表示\(x\)选或不选，\(x\)的\(2^j\)祖先即\(anc1\)选或不选所产生的\(k2-k5\)部分的\(dp\)值，显然转移的时候\(F[x][0/1]+f[x][j][0/1][0/1]\)就可以快速转移到\(F[anc1][0/1]\)了，被限制了的就加个\(inf\).
求这个数组同样不难，我们设\(anc2\)表示\(x\)的\(2^{j-1}\)祖先，由图同样\(k2-k5=(k2-k3)+(k3-k5).\)
于是我们这样转移：
\[f[x][j][0/1][0/1]=min\{f[x][j-1][0/1][0]+f[anc2][j-1][0][0/1],f[x][j-1][0/1][1]+f[anc2][j-1][1][0/1]\}.\]
关于\(f\)数组的初始化，同样也是把它们拆成各种区间去累加。
f[x][0][0][0] = inf;
f[x][0][1][0] = F[Fa][0] - F[x][1];
f[x][0][0][1] = f[x][0][1][1] = F[Fa][1] - min(F[x][0], F[x][1]);倍增的时候就按照\(LCA\)的样子，加上稍微复杂一些的转移就行了。
从这幅图中我们可以看出答案
LCA不选：
\[Ans=G[LCA][0]+F[LCA][0]-F[x][1]-F[y][1]+nowx[1] nowy[1];\]
LCA选：
\[Ans=G[LCA][1]+F[LCA][1]-min(F[x][0],F[x][1])-min(F[y][0],F[y][1])+min(nowx[0],nowx[1])+min(nowy[0],nowy[1])\]
两者取\(min\)就行了。
LL getans(int x,int a,int y,int b)
{
//为了方便（其实是看着更顺眼）,把x和a，y和b互换了一下
LL ancx[2] = {inf, inf}, ancy[2] = {inf, inf};
//ancx,ancy表示x或y的祖先选或不选所产生的以其祖先为根的子树的dp值
LL nowx[2] = {inf, inf}, nowy[2] = {inf, inf};
//nowx,nowy表示当前节点（x和y）为根的子树的dp值
//以上都是加了限制的dp值
if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y), swap(a, b);
nowx[a] = F[x][a]; nowy[b] = F[y][b];
for(int j = Log[dep[x]];j >= 0;j --)
if(dep[fa[x][j]] >= dep[y])
{
ancx[0] = ancx[1] = inf;
for(int fx = 0;fx < 2;fx ++)
for(int fanc = 0;fanc < 2;fanc ++)
ancx[fanc] = min(ancx[fanc], nowx[fx] + f[x][j][fx][fanc]);
nowx[0] = ancx[0]; nowx[1] = ancx[1]; x = fa[x][j];
}
if(x == y) return nowx[b] + G[y][b];
for(int j = Log[dep[x]];j >= 0;j --)
if(fa[x][j] != fa[y][j])
{
ancx[0] = ancx[1] = ancy[0] = ancy[1] = inf;
for(int fx = 0;fx < 2;fx ++)
for(int fanc = 0;fanc < 2;fanc ++)
{
ancx[fanc] = min(ancx[fanc], nowx[fx] + f[x][j][fx][fanc]);
ancy[fanc] = min(ancy[fanc], nowy[fx] + f[y][j][fx][fanc]);
}
nowx[0] = ancx[0]; nowx[1] = ancx[1]; nowy[0] = ancy[0]; nowy[1] = ancy[1];
x = fa[x][j]; y = fa[y][j];
}
int LCA = fa[x][0];//LCA连接也要分情况讨论
LL Ans = G[LCA][0] + F[LCA][0] - F[x][1] - F[y][1] + nowx[1] + nowy[1];
Ans=min(Ans,G[LCA][1]+F[LCA][1]-min(F[x][0],F[x][1])-min(F[y][0],F[y][1])+min(nowx[0],nowx[1])+min(nowy[0],nowy[1]));
return Ans;
}
完整代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 110000
#define LL long long
#define inf 1e10 + 1
int n,m,val[maxn];
LL F[maxn][2],G[maxn][2],f[maxn][20][2][2];
int fa[maxn][20],last[maxn],p,dep[maxn],Log[maxn] = {- 1};
LL ans;
inline int read()
{
int res = 0, flag = 1;char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-')flag = - 1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9'){res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);c = getchar();}
return flag * res;
}
struct edge
{
int x,y,next;
void Add_edge(int X, int Y)
{
x = X; y = Y; next = last[x]; last[x] = p;
}
}e[maxn * 2];
void dfs1(int x,int Fa)
{
F[x][0] = 0; F[x][1] = val[x]; fa[x][0] = Fa;
for(int k = last[x];k;k = e[k].next)
if(e[k].y != Fa)
{
int y = e[k].y;
dep[y] = dep[x] + 1; dfs1(y, x);
F[x][0] += F[y][1];
F[x][1] += min(F[y][0], F[y][1]);
}
}
void dfs2(int x,int Fa)
{
G[x][0] = G[Fa][1] + F[Fa][1] - min(F[x][0], F[x][1]);
G[x][1] = min(G[x][0], G[Fa][0] + F[Fa][0] - F[x][1]);
if(x == 1) G[x][0] = G[x][1] = 0;
for(int k = last[x];k;k = e[k].next)
if(e[k].y != Fa)
{
int y = e[k].y;
dfs2(y, x);
}
f[x][0][0][0] = inf;
f[x][0][1][0] = F[Fa][0] - F[x][1];
f[x][0][0][1] = f[x][0][1][1] = F[Fa][1] - min(F[x][0], F[x][1]);
}
void dfs3(int x,int Fa)
{
for(int j = 1;j <= Log[dep[x]];j ++)
{
fa[x][j] = fa[fa[x][j - 1]][j - 1];
for(int a = 0;a < 2;a ++)
for(int c = 0;c < 2;c ++)
{
f[x][j][a][c] = inf;
for(int b = 0;b < 2;b ++)
f[x][j][a][c] = min(f[x][j][a][c], f[x][j - 1][a][b] + f[fa[x][j - 1]][j - 1][b][c]);
}
}
for(int k = last[x];k;k = e[k].next)
if(e[k].y != Fa)
{
int y = e[k].y;
dfs3(y, x);
}
}
LL getans(int x,int a,int y,int b)
{
LL ancx[2] = {inf, inf}, ancy[2] = {inf, inf};
LL nowx[2] = {inf, inf}, nowy[2] = {inf, inf};
if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y), swap(a, b);
nowx[a] = F[x][a]; nowy[b] = F[y][b];
for(int j = Log[dep[x]];j >= 0;j --)
if(dep[fa[x][j]] >= dep[y])
{
ancx[0] = ancx[1] = inf;
for(int fx = 0;fx < 2;fx ++)
for(int fanc = 0;fanc < 2;fanc ++)
ancx[fanc] = min(ancx[fanc], nowx[fx] + f[x][j][fx][fanc]);
nowx[0] = ancx[0]; nowx[1] = ancx[1]; x = fa[x][j];
}
if(x == y) return nowx[b] + G[y][b];
for(int j = Log[dep[x]];j >= 0;j --)
if(fa[x][j] != fa[y][j])
{
ancx[0] = ancx[1] = ancy[0] = ancy[1] = inf;
for(int fx = 0;fx < 2;fx ++)
for(int fanc = 0;fanc < 2;fanc ++)
{
ancx[fanc] = min(ancx[fanc], nowx[fx] + f[x][j][fx][fanc]);
ancy[fanc] = min(ancy[fanc], nowy[fx] + f[y][j][fx][fanc]);
}
nowx[0] = ancx[0]; nowx[1] = ancx[1]; nowy[0] = ancy[0]; nowy[1] = ancy[1];
x = fa[x][j]; y = fa[y][j];
}
int LCA = fa[x][0];
LL Ans = G[LCA][0] + F[LCA][0] - F[x][1] - F[y][1] + nowx[1] + nowy[1];
Ans=min(Ans,G[LCA][1]+F[LCA][1]-min(F[x][0],F[x][1])-min(F[y][0],F[y][1])+min(nowx[0],nowx[1])+min(nowy[0],nowy[1]));
return Ans;
}
int main()
{
dep[0] = - 1;
n = read(); m = read(); char type[2]; cin >> type;
for(int i = 1;i <= n;i ++) Log[i] = Log[i / 2] + 1, val[i] = read();
for(int i = 1;i <= n - 1;i ++)
{
int u = read(), v = read();
e[++ p].Add_edge(u, v);
e[++ p].Add_edge(v, u);
}
dfs1(1, 0);
dfs2(1, 0);
dfs3(1, 0);
for(int i = 1;i <= m;i ++)
{
int a = read(),x = read(),b = read(),y = read();
ans = getans(a, x, b, y);
if(ans < inf) printf("%lld\n", ans);
else printf("-1\n");
}
}