一 堆的定义：
堆是一种逻辑上的数据结构，英文名heap，常常用于一段连续的空间，如数组中。这是堆的存储结构。
而堆的逻辑结构，本质上是有排序的二叉树。
按堆的排序方式，分为大堆，和小堆。
堆的存储结构，与逻辑结构的关系如下：
- 存储结构：
设有数组为Array[N] , 这里假定N = 9
这个数组就是堆的存储结构
2. 逻辑结构，即数组中元素与元素的关系：
数组中的元素，谁是根节点，谁是子节点？这个关系是用以下的方式确定的。
上列数组中，名称为Ai 元素（i = 1 ~ N）满足:
1> 父节点的序号为parent = i /2 。若parent = 0 ,则无父节点，Ai为根节点(显然，A1是最顶层的根节点) 。
2>最多具有两个子节点，分别为 left = i * 2 ,right = i * 2 +1 。若无子节点，则该节点为叶子节点（树的叶子上不会再长叶子，所以代表最末端）。
3> 大堆（小堆）中，父节点的值，一定大于（小于）所有子节点。如下图。
通俗的讲解下堆的关系：
堆就像是一个族谱，或者家庭关系图
大堆，就是从长辈到子女的关系图，节点值代表年龄： 母亲 总是比子女的年龄大。 但孙辈的年龄，却没有固定顺序，孙子孙女年龄，可以大于舅舅,舅妈。 注意，由于堆是二叉树，所以这个族谱最多只能二胎。
小堆，就是子女到长辈的关系图，节点值代表年龄。 根节点的年龄，一定小于左右节点的年龄。但是爷爷节点与父母之间却没有固定顺序（外公外婆可以比父亲年龄小）
二 堆的初始化
数组要变为堆，首先必须经过初始化排序，使得无序数组变为有序堆。
我们假设一个数组如下，并将其转换为大堆：
| 序号 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 名称 |
A1 |
A2 |
A3 |
A4 |
A5 |
A6 |
A7 |
A8 |
| 值 |
49 |
38 |
65 |
97 |
76 |
13 |
27 |
50 |
- 先把无序数组变为无序二叉树。
设i = 1 to 8，子节点为 i*2 ,i*2+1，依次添加子节点。结果如下图：
(无序二叉树)
- 从叶子节点，向根节点，整理二叉树的排序。
a> 找到最外层（远离根）的非叶子节点。 由于N= 8 ，则最远端节点是 i = INT(N/2) = 4.
b> 从A4开始，依次整理A3, A2, A1 为根的子树 （这是大循环）
c>当前节点为Ai, 若无子节点，回到大循环b> .
若有子节点，找出子节点中的大者。并与Ai 比较。
若Ai大，则本次整理完成，回到大循环b>
若Ai小，则交换 Ai 与该大值子节点。 然后i = 交换序号，重复执行c >。
（举例，对A2的子树做整理：）
初始化的总结：
可以看到，无序化树的整理，有两个循环。
内循环是，对已经有序的子树，加入新根，然后自根向叶，做排序。
外循环是，当一个子树的内循环完成，就继续遍历完所有子树（N=4,3,2,1）
这个方针就是，先整理好基层（子树）；然后逐渐将中层，高层纳入整理范围（更大的子树），直到整个系统整理完成。
三 在堆中添加数据并刷新
若一个数据A_new，要加进一个已经序列化，并且节点数固定的堆，那么就需要按照如下方法添加(这里以大堆举例说明，需要注意的是，大堆总是弹出最大值，保存小值，所以大堆往往用于保存N个数中最小的k个数)：
- 对比A_new与根A1:
若A_new 大于 A1，则A_new不加入堆，本次更新完成。
若A_new小于A1, 则A1= A_new，i = 1. 然后进入2.。
2. 当前节点为Ai, 若无子节点，完成整理 .
若有子节点，找出子节点中的大者。并与Ai 比较。
若Ai大，则本次整理完成。
若Ai小，则交换 Ai 与该大值子节点。 然后i = 交换序号，重复执行2.。
可以看出，其实就是执行的堆的初始化中的“2.c>” 步。
如下图是一个例子，经过三次交换后，堆更新完成。
四 堆的其他运算：
包括堆的减小，堆的增加，堆头的删除等。
暂时待加入。
五 堆的优点
当我们在堆中，增加新的值时，需要重新排序. 若堆有N个元素，那么这个排序的时间复杂度为 Log2N
这是由于，一个具有N个元素的堆，它最多具有Log2N 层 。 而最坏的情况下，每层需要执行一次交换。
不过，对于时间复杂度，我们一般计为：
LogN
这是由于，不论底数是多少，例如(ln N)和( lg N ) ,它们的比例是常数
,说明不论底是多少，他们都是一个数量级的。所以直接用logN来表示时间常数。
而如果采用数组标准的排序法，则最坏要执行N次交换。
显然，堆的执行效率高很多。
例如：
一个长度为1024的堆，要更新一个新元素，执行次数最多为：10次。
一个长度为1024的数组，则跟新一个元素，执行次数最多为：1024次。
数据越大，则这个差距也越大。