Educational Codeforces Round 68
E
题意：有 n 个线段，每个都是平行 x 或者 y 轴，只有互相垂直的两线段才会相交。问形成了多少个矩形。 \(n \le 5000, -5000 \le x_i,y_i \le 5000\)
key：树状数组
考虑枚举矩形上边和下边，如果统计出与这两条边相交的竖线个数，那么就能知道贡献。先枚举下边，把所有与它相交的竖线插入树状数组。如果把竖线按照上端点的纵坐标排序，那么按照从下往上枚举上边时就可以删掉某些竖边。总复杂度 \(O(n^2 \log n)\)
F
题意：有 n 个题，第 i 个题花费时间是 \(a_i\) 或 \(a_i+1\)，概率都是 0.5，你只能顺着做。问 T 时间做题的期望个数。 \(a_i \le 10^9, T \le 10^{14}, n \le 2*10^5\)
key：概率
key：姿势
总方案数是 \(2^n\)， 考虑第 i 个题被做的方案数。令 \(sum_i=\sum_{j\le i}a_i\) ，那么剩余可随意支配的时间是 \(T-sum_i\)，这些时间会被分配到前 i 个题上，每个至多分配 1，或者留给后面的题。后面的题不用管，就是 \(2^{n-i}\) 种方案。所以这个题的贡献是
\[ \frac{2^{n-i}*\sum_{j=0}^{T-sum_i} {i \choose j}}{2^n} \]
分子是一个组合数第 i 行的前缀和，这个可以直接递推（\(\sum_{i\le m} {n+1 \choose i} = 2\sum_{i\le m} {n \choose i} - {n \choose m}\)）。由于随着 i 增大， \(T-sum_i\) 变小，所以可以直接做。