【题解】循环

题目描述

　　乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。

　　众所周知，$2$的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复$2,4,8,6,2,4,8,6...$我们说$2$的正整数次幂最后一位的循环长度是$4$（实际上$4$的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：

　　这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数$n$的正整数次幂来说，它的后$k$位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？

　　注意：

　　1． 如果$n$的某个正整数次幂的位数不足$k$，那么不足的高位看做是$0$。

　　2． 如果循环长度是$L$，那么说明对于任意的正整数$a$, $n$的$a$次幂和$a + L$次幂的最后$k$位都相同。

输入格式

 　　一行，包含$2$个整数$1 \leqslant n < 10 ^ {100}$和$1 \leqslant k \leqslant 100$，$n$和$k$之间用一个空格隔开，表示要求$n$的正整数次幂的最后$k$位的循环长度。

输出格式

 　　一个整数，表示循环长度。如果循环不存在，输出$-1$。

 i

输入样例

32 2

输出样例

4

题解

　　容易想到，如果最后$i$位的循环长度为$L_{i}$，最后$i + 1$位的循环长度为$L_{i + 1}$，则$L_{i} | L_{i + 1}$。

　　我们设最后$i$位要乘$a^{L_{i}}$才能重复，则对于最后$i + 1$位，每次都乘上$a^{L_{i}}$，当乘上$cnt$次才重复时，则$L_{i+1} = L_{i} \times cnt$。

　　注意，如果$a^{L_{i} + 1}$的最后$i$位与$a$的最后$i$位相同，那也要输出$-1$。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

#define MAX_LEN (100 + 5)

using namespace std;

int k;

struct BigNumber
{
    int bit[MAX_LEN + MAX_LEN], len;
    
    BigNumber()
    {
        memset(bit, 0, sizeof bit);
        len = 1;
        return;
    }
    
    BigNumber operator = (char * s)
    {
        memset(bit, 0, sizeof bit);
        len = strlen(s + 1);
        for(register int i = 1; i <= len; ++i)
        {
            bit[i] = s[len - i + 1] - '0'; 
        }
        return *this;
    }
    
    BigNumber operator = (int num)
    {
        memset(bit, 0, sizeof bit);
        len = 0;
        do
        {
            bit[++len] = num % 10;
            num /= 10; 
        }
        while(num);
        return *this;
    }
    
    inline bool notZero()
    {
        return len > 1 || bit[1];
    }
    
    friend BigNumber operator + (BigNumber a, BigNumber b)
    {
        if(a.len < b.len) a.len = b.len;
        for(register int i = 1; i <= a.len; ++i)
        {
            a.bit[i] += b.bit[i];
        }
        for(register int i = 1; i <= a.len && i <= k; ++i)
        {
            if(a.bit[i] >= 10)
            {
                if(i == a.len) ++a.len;
                ++a.bit[i + 1];
                a.bit[i] -= 10;
            } 
        }
        if(a.len > k) a.bit[a.len--] = 0;
        return a;
    }
    
    friend BigNumber operator += (BigNumber & a, BigNumber b)
    {
        return a = a + b;
    }
    
    friend BigNumber operator * (BigNumber a, BigNumber b)
    {
        BigNumber c;
        c.len = a.len + b.len - 1;
        if(c.len > k) c.len = k;
        for(register int i = 1; i <= a.len; ++i)
        {
            for(register int j = 1; j <= b.len && i + j - 1 <= k; ++j)
            {
                c.bit[i + j - 1] += a.bit[i] * b.bit[j];
            }
        }
        for(register int i = 1; i <= c.len && i <= k; ++i)
        {
            if(c.bit[i] >= 10)
            {
                if(i == c.len) ++c.len;
                c.bit[i + 1] += c.bit[i] / 10;
                c.bit[i] %= 10;
            } 
        }
        if(c.len > k) c.bit[c.len--] = 0;
        return c;
    }
    
    friend BigNumber operator *= (BigNumber & a, BigNumber b)
    {
        return a = a * b;
    }
    
    void Write()
    {
        for(register int i = len; i; --i)
        {
            printf("%d", bit[i]);
        }
        return;
    }
};

BigNumber a;
int f[15];
BigNumber dp[MAX_LEN];

int main()
{
    char s[MAX_LEN];
    scanf("%s%d", s + 1, &k);
    a = s;
    dp[0] = 1;
    BigNumber res, p, tmp;
    tmp = a;
    for(register int i = 1; i <= k; ++i)
    {
        memset(f, 0, sizeof f); 
        p = tmp;
        tmp = 1;
        res = a;
        f[res.bit[i]] = 1;
        while(f[res.bit[i]] < 2)
        {
            tmp *= p;
            res *= p;
            ++f[res.bit[i]];
            dp[i] += dp[i - 1];
        }
        if(res.bit[i] != a.bit[i]) return cout << -1, 0;
    }
    dp[k].Write();
    return 0;
}

参考程序