学考考完了。虽然身为d类咸鱼选手还是要好好备战一下noi的。
从今天开始进行康复训练，不过白天应该还是要肝文化课。等过几天训练时间应该会多一点。
[CTS2019]随机立方体
这道题现在做了一遍好像有一点sibo啊，可能是考试的时候太紧张了吧。
题意就不写了。
题目要求恰好\(k\)个，那我们考虑用至少含\(i\)个进行容斥。
那么容斥系数\(f_i\)需要满足：
\[[i=k]=\sum_{j=0}^i{i\choose j}f_j\]
进行二项式反演，得到：
\[f_i=\sum_{j=0}^i(-1)^{i-j}{i\choose j}[j=k]\]
即：
\[f_i=(-1)^{i-k}{i\choose k}\]
由于在\(i<k\)时\({i\choose k}\)等于\(0\)，因此上面的式子是良定义的。
那么考虑如何计算至少含\(i\)个极大数的概率。
首先极大数的行号、列号、bule号（bule代表第三维的名称）一定不是相同的。
比较关键的一点是，我们可以注意到任何钦点\(i\)个两两坐标全不同的格子为极大数的概率都是相同的。于是我们可以找一个比较特殊的位置计数，比如让他们的坐标为\((1,1,1)\)，\((2,2,2)\)，\(\dots\)，\((i,i,i)\)。同时我们钦点\(a_{1,1,1}<a_{2,2,2}<\dots<a_{i,i,i}\)。
思考一下，可以发现如果我们只观察至少有一维横坐标\(\leq i\)的格子，\((i,i,i)\)一定是其中的最大值。如果我们只观察至少有一维横坐标\(\leq i-1\)的格子，\((i-1,i-1,i-1)\)一定是其中的最大值。以此类推即可。不难发现只要满足上述条件，那么这个方案一定合法。
我们设\(a_i\)表示所有横坐标至少有一维\(\leq i\)的格子数。那么满足之前所述条件的概率就是：
\[\prod_{j=1}^i\frac{1}{a_j}\]
同时还要注意，这只是我们钦点的位置和大小关系之后的答案，所有合法的选取位置和大小关系的方案共有\({n\choose i}{m\choose i}{l\choose i}*(i!)^3\)种，其组合意义是分别选出三维的横、纵、bule坐标，再决定大小关系。
后面的方案数可以用预处理阶乘及逆元实现\(O(1)\)计算，之前的概率，则可以通过线性求逆元均摊\(O(1)\)计算。于是做一组数据就是\(O(n)\)的，总复杂度\(O(Tn)\)。