6 月 29 日
Comet OJ #6 D
Comet OJ #6 D
题意：给定一棵 $n(n \le 100000)$ 个点的树。在至少两个点上放棋子，每一个回合将所有棋子移向父亲，存在棋子重合时结束。问所有的 $2 ^ n - n - 1$ 个初始棋局的回合数的和，对 $998244353$ 取模。
分析：求出 BFS 序，进行 $T$ 个回合之后，转移到的点相同 的 位置必然被划分到连续一段。
$$\begin{aligned} \sum_{S} \text{S 能进行的回合数} & = \sum_S \sum_{T \ge 0} [\text{S 能进行超过 T 个回合}] \\ & = \sum_{T \ge 0} \sum_S [\text{S 能进行超过 T 个回合}] \end{aligned}$$
用并查集维护 BFS 序并统计答案。剩下的问题就是判断 BFS 序的每个位置在什么时候与下一段合并：找当前这个点与深度相同的下一个点的 LCA （也就是 BFS 序的下一个），将 dep 相减即可判断合并的回合。
思考一
细化理解一下对所求量的转化，也就是阿贝尔求和公式。
我可以改编这样一个问题：给定一棵 $n(n \le 100000)$ 个点的树。在至少两个点上放棋子，每一个回合将所有棋子移向父亲，存在棋子重合时结束，设共进行了 $T$ 个回合，贡献 $a[T]$ 。问所有的 $2 ^ n - n - 1$ 个初始棋局的回合数的贡献之和，对 $998244353$ 取模。
$$\begin{aligned} \sum_{S} a[\text{S 能进行的回合数}] & = \sum_S \sum_{T \ge 0} [\text{S 能进行超过 T 个回合}] (a[T+1] - a[T]) \\ & = \sum_{T \ge 0} (a[T + 1] - a[T]) \sum_S [\text{S 能进行超过 T 个回合}] \end{aligned}$$
思考二
给定一棵 $n(n \le 100000)$ 个点的树。在至少两个点上放棋子，每一个回合将所有棋子移向父亲，存在棋子重合时结束。多组询问，每次给定 $k$ ，问选择 $k$ 个棋子至多能进行多少回合。
把 $T$ 个回合的段数求出来，对这个数组进行二分。