挑战程序设计竞赛:线段上格点的个数

题目大意

解题思路

(1) 当直线斜率存在时，格点数为 $gcd(|x_2-x_1|, |y_2-y_1|) - 1$
(2) 当斜率不存在且 $y_2 != y_1$时，格点数为 $|y_2-y_1|-1$
(3) 当斜率不存在且 $y_2 = y_1$时，格点数为0.

证明如下:
$a$: 当斜率不存在时，很容易得出(2),(3)结论。
$b$: 当斜率存在时。 斜率为 $\frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}$。当横坐标增加 $\Delta x$, 则对应纵坐标增加 $\Delta x \frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}$, 很明显，要格点最多，且每次增加都落在格点上，我们希望 (1)每次增加的距离 $\Delta x$要尽量小。(2) $\Delta x$和 $\Delta x \frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}$ 都是整数。

• 直接令 $\Delta x$为整数。
• 对 $\Delta x \frac{y_2-y_1}{x_2- x_1}$ : 有 $\Delta x \frac{y_2-y_1}{x_2- x_1} = \Delta x \frac{y_2-y_1/gcd}{x_2-x_1/gcd}$.其中 $gcd$为分子分母最大公约数。要使其为整数，则 $\Delta x$能够整除 $\frac{x_2-x_1}{gcd}$.而要使 $\Delta x$最小，则其就等于 $\frac{x_2-x_1}{gcd}$.
• 因此要格点最多，且每次增加都落在格点上，则 $\Delta x = \frac{x_2-x_1}{gcd}$, 对应的格点数目为 $\frac{x_2-x_1}{\Delta x} - 1=gcd-1$
• 得证。

代码

#include<iostream>
using namespace std;

int abs(int x)
{
    if(x < 0)
        return -x;
    return x;
}
int gcd(int a, int b)
{
    if(a < b)
        swap(a, b);
    if(b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a%b);
}
int main()
{
    int x1,y1,x2,y2;
    cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
    if(x1 == x2)
    {
        if(y1 == y2)
            cout << 0 << endl;
        else
            cout << abs(y1-y2)-1 << endl;
    }
    else
    {
        cout << gcd(abs(y1-y2), abs(x1-x2)) - 1 << endl;
    }
    return 0;
}

知识点

• 欧几里得算法