定理 \(\mathbb R^n\)中点集外测度具有以下性质:
(1)非负性:\(m^*(E)\geqslant0,m^*(\varnothing)=0;\)
(2)单调性:若\(E_1\subset E_2,\)则\(m^*(E_1)\leqslant m^*(E_2);\)
(3)次可加性:\(\displaystyle m^*\Big(\bigcup_{k=1}^\infty E_k\Big)\leqslant\sum_{k=1}^\infty m^*(E_k);\)
(4)平移不变性:\(m^*(E+\{x\})=m^*(E),\forall x\in\mathbb R^n,\)其中\[E+\{x\}=\{y+x|y\in E\}.\]
定理 若\(m^*(E)=0,\)则\(E\in\mathfrak M.\)
定理 \(\mathbb R^n\)中的开矩体\(I\in\mathfrak M,\)且\(m(I)=|I|.\)
定理 可测集性质:
(1)\(\varnothing\in\mathfrak M,m(\varnothing)=0;\)
(2)若\(E\in\mathfrak M,\)则\(E^c\in\mathfrak M;\)
(3)若\(E,F\in\mathfrak M\),则\(E\cup F,E\cap F,E\setminus F\in\mathfrak M;\)
(4)可列可加性:若\(E_j\in\mathfrak M,j=1,2,\cdots,\)则\(\displaystyle\bigcup_{j=1}^\infty E_j\in\mathfrak M;\)若还有\(E_i\cap E_j=\varnothing(i\ne j),\)则\[m(\bigcup_{j=1}^\infty E_j)=\sum_{j=1}^\infty m(E_j).\]
推论 若\(E_j\in\mathfrak M(j=1,2,\cdots),\)则\(\displaystyle\bigcap_{j=1}^\infty E_j\in\mathfrak M.\)
定理 若有递增可测集列\(E_1\subset E_2\subset\cdots\subset E_k\subset\cdots,\)则\(\lim\limits_{k\to\infty}E_k\in\mathfrak M,\)且\[m(\lim_{k\to\infty}E_k)=\lim_{k\to\infty}m(E_k).\]
推论 若\(E_1\supset E_2\supset\cdots\supset E_k\supset\cdots\)是递减可测集列,且\(m(E_1)<\infty\),则\[m(\lim_{k\to\infty}E_k)=\lim_{k\to\infty}m(E_k).\]
定理 若\(E\in\mathfrak M\),则\(\forall x\in\mathbb R^n,E+\{x\}\in\mathfrak M\)成立.
定理 设\(E\)是可测集,则存在Borel集\(G,F,\)使\(F\subset E\subset G,\)且\(m(F)=m(G)=m(E).\)
定理 设\(f\)是可测集\(E\)上一个实函数,则以下诸条件互相等价:
(1)\(f\in\mathfrak M(E);\)
(2)\(\forall t\in\mathbb R,E(f\geqslant t)\)是可测集;
(3)\(\forall t\in\mathbb R,E(f<t)\)是可测集;
(4)\(\forall t\in\mathbb R,E(f\leqslant t)\)是可测集.
定理 对任意可测集\(E,E\)上的简单函数是可测的.
定理 设\(E\subset\mathbb R^n\)是可测集,则\(f(x)\)是\(E\)上非负可测函数的充分必要条件是,存在\(E\)上的非负简单函数列\(\{\psi_k(x)\},\)使得\[0\leqslant\psi_1(x)\leqslant\psi_2(x)\leqslant\cdots\leqslant\psi_k(x)\leqslant\cdots,\\\lim_{k\to\infty}\psi_k(x)=f(x),\quad\forall x\in E.\]
定理 若\(f(x),g(x)\)是\(E\)上的可测函数,则\(cf(x)(c\in\mathbb R),f(x)g(x)\)是\(E\)上的可测函数;\(f(x)+g(x)\)与\(f(x)/g(x)\)是其有定义的集合上的可测函数.
推论 设\(E\subset\mathbb R^n\)是可测集,则\(E\)上连续函数均为可测函数,即\(C(E)\subset\mathfrak M(E).\)
定理 设\(\{f_k(x)\}\)是可测集\(E\subset\mathbb R^n\)上的可测函数列,则下列函数:
(1)\(\sup\limits_{k\geqslant1}\{f_k(x)\};\)
(2)\(\inf\limits_{k\geqslant1}\{f_k(x)\};\)
(3)\(\varlimsup\limits_{k\to\infty}\{f_k(x)\};\)
(4)\(\varliminf\limits_{k\to\infty}\{f_k(x)\}\)
都是\(E\)上的可测函数.
推论 设\(\{f_k(x)\}\)是可测函数\(E\)上的可测函数列,且有\[\lim_{k\to\infty}f_k(x)=f(x),\]则\(f(x)\)是\(E\)上的可测函数.
定理 若\(E\subset\mathbb R^n\)是可测集,则\(E\)上实值函数\(f(x)\)是可测的充分必要条件是,\(f^+(x),f^-(x)\)都是\(E\)上的可测函数.当\(f(x)\)在\(E\)可测时,\(|f(x)|\)在集合\(E\)上也是可测的.
定理 设\(f(x)\)是\(\mathbb R\)上的连续函数,\(g(x)\)是\(\mathbb R^n\)中可测集\(E\)上的可测函数,则复合函数\[h(x)=f(g(x))\]是\(E\)上的可测函数.
定理 设\(E\subset\mathbb R^n\)是可测集,\(f(x),g(x)\)是\(E\)上两个函数.如果\(f(x)\)与\(g(x)\)在\(E\)上几乎处处相等,即存在一个集合\(E_0\subset E\),满足\(m(E_0)=E,\)使得函数\(f\)与\(g\)在集合\(E\setminus E_0\)上处处相等,则当其中一个在\(E\)上可测时,另一个在\(E\)上也可测.
Его́ров定理 设\(f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdots\)是可测集\(E\)上几乎处处有限的可测函数集,并且\(m(E)<\infty.\)若\(f_k\to f,\text{a.e.}[E],\)则\(\{f(x)\}\)几乎一致收敛于\(f(x).\)
定理 若函数列\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛于函数\(f(x)\)与\(g(x),\)则\(f(x)\)与\(g(x)\)几乎处处相等.
定理 设函数列\(\{f_k(x)\}\)是可测集\(E\)上的几乎处处有限的可测函数列且\(m(E)<\infty.\)若\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上几乎处处收敛,则\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛于同一极限函数.
Riesz定理 设\(f(x),\{f_k(x)\}\)是可测集\(E\)上几乎处处有限的可测函数列.若\(\{f_k(x)\}\)在\(E\)上依测度收敛于\(f(x),\)则存在子列\(\{f_{k_i}(x)\},\)使得\[\lim_{i\to\infty}f_{k_i}(x)=f(x),\quad\text{a.e.}[E].\]
定理 设\(\{f_k(x)\}\)是可测集\(E\)上几乎处处有限的可测函数列,则\(\{f_k(x)\}\)是依测度收敛的充分必要条件是,它还是依测度基本列.
Luzin定理 设\(f(x)\)是可测集\(E\)上的几乎处处有限的可测函数,则对任给\(\delta>0,\)存在\(E\)中的一个闭集,满足\(m(E\setminus F)<\delta,\)使得\(f(x)\)是\(F\)上的连续函数.
推论 若\(f(x)\)是可测集\(E\in\mathbb R^n\)上的几乎处处有限的可测函数,则存在\(\mathbb R^n\)上的连续函数列\(\{g_k(x)\},\)使\(\{g_k(x)\}\)在\(E\)上几乎处处收敛到\(f(x)\).
引理 设\(F\subset\mathbb R^n\)是一个非空闭集,函数\(f(x)\)是\(F\)上的连续函数,则存在\(\mathbb R^n\)上的连续函数\(g(x)\),使得\(g|_F=f,\)且\(\displaystyle\sup_{x\in\mathbb R^n}|g(x)|=\sup_{x\in F}|f(x)|.\)
推论 设\(f(x)\)是可测集\(E\)上的几乎处处有限的函数.则\(f(x)\)可测的充分必要条件是,存在\(E\)上连续函数列列\(\{g_k(x)\},\)使得\(\{g_k\}\)几乎处处收敛到\(f\).